第十二节 函数模型及其应用 1.在实际情境中,会选择合适的函数模型来刻画现实问题的变化规律. 2.结合现实情境中的具体问题,利用计算工具,比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义. 教材再回首 1.几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0) 二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) 指数函数模型 f(x)=bax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1) 对数函数模型 f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1) 幂函数模型 f(x)=axn+b(a,b为常数,a≠0) “对勾”函数模型 f(x)=x+(a>0) 2.三种函数模型的性质 性质 函数 y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=xn (n>0) 在(0,+∞)上的单调性 单调 单调 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象 的变化 随x的增大,逐渐表现为与 平行 随x的增大,逐渐表现为与 平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0,当x>x0时,有logax
g(x)>h(x) B.g(x)>f(x)>h(x) C.g(x)>h(x)>f(x) D.f(x)>h(x)>g(x) 题点一 图表型函数的实际应用问题 [例1] 某工厂近6年来生产某种产品的情况:前3年年产量的增长速度越来越快,后3年年产量保持不变,则可以描述该厂近6年这种产品的总产量c随时间t变化的图象是 ( ) |思维建模| 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的2种方法 (1)构造函数模型法:当根据题意易构造函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选择函数图象. (2)验证法:根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合函数图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情况的答案. [即时训练] 1.函数f(x)的数据如下表,则该函数的解析式可能形如 ( ) x -2 -1 0 1 2 3 5 f(x) 2.3 1.1 0.7 1.1 2.3 5.9 49.1 A.f(x)=ka|x|+b B.f(x)=kxex+b C.f(x)=k|x|+b D.f(x)=k(x-1)2+b 题点二 已知函数模型解决实际问题 [例2] (2024·九江二模)已知火箭在t时刻的速度为v(t)(单位:千米/秒),质量为m(t)(单位:千克),满足v(t)=v0+uln(u为常数),v0,m0分别为火箭初始速度和质量.假设一小型火箭初始质量m0=1 000千克,其中包含燃料质量为500千克,初始速度为v0=0,经过t1秒后的速度v(t1)=2千米/秒,此时火箭质量m(t1)=800千克,当火箭燃料耗尽时的速度大约为(ln 2≈0.69,ln 5≈1.61) ( ) A.4 B.5 C.6 D.7 |思维建模| 已知函数模型解决实际问题的关键 (1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数. (2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数. (3)利用函数模型,借助函数的性质、导数等求解实际问题,并进行检验. [即时训练] 2.(2024·龙岩三模)声音的等级f(x)(单位:dB)与声音强度x( ... ... 