广西壮族自治区来宾市忻城县高级中学2024-2025学年高一下学期5月期中数学试卷（含解析）

广西壮族自治区来宾市忻城县高级中学2024-2025学年高一下学期5月期中质量检测数学试题 学校:_____姓名：_____班级：_____考号：_____ 一、单选题 1．设，则（ ） A． B． C． D． 2．设是两个不同的平面，是两条直线，且.则“”是“”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知向量和的夹角为，，，则等于（　　） A．15 B．12 C．6 D．3 4．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为（ ） A． B．2 C． D． 5．如图，在中，为上靠近的三等分点，为的中点，设，，则（ ） A． B． C． D． 6．已知正四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为2，则球的体积为（ ） A． B． C． D． 7．在中，角、、的对边分别为、、，且的面积，，则（ ） A． B． C． D． 8．《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭，其中上底面与下底面的面积之比为，方亭的高，，方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭四个侧面的面积之和，则方亭的体积为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列命题为真命题的是（ ） A．若，为共扼复数，则为实数 B．若为虚数单位，为正整数，则 C．复数在复平面内对应的点在第三象限 D．复数的共轭复数为 10．下列命题中，正确的是（ ） A．在中，若，则 B．在锐角中，不等式恒成立 C．在中，若，则必是等腰直角三角形 D．在中，若，，则必是等边三角形 11．若正四面体外接球的表面积为，则（ ） A．该正四面体的体积 B．该正四面体的表面积为 C．该正四面体内切球的半径为 D．该正四面体的外接球上一动点M到内切球上一动点N距离的最小值为 三、填空题 12．已知向量，若，则 . 13．已知平面向量、的夹角为，且，，则在方向上的投影向量为 ．（用向量坐标表示） 14．如图，在中，为线段AC上靠近点的三等分点，若，则 . 四、解答题 15．已知复数是纯虚数，且是实数，其中是虚数单位. (1)求复数； (2)若复数所表示的点在第一象限，求实数的取值范围 16．已知向量. (1)若，求的值； (2)若，求实数的值； (3)若与的夹角是钝角，求实数的取值范围. 17． 如图，已知空间四边形，E，F分别是AB，BC的中点，G，H分别在CD和AD上，且满足. 求证： (1)，，，四点共面； (2)，，三线共点． 18．在中，角，，的对边分别是，，，且，． (1)求的值； (2)若，，求的面积． 19．如图,四边形为矩形,且平面, ,为的中点. （1）求证:； （2）求三棱锥的体积； （3）探究在上是否存在点,使得平面，并说明理由. 广西壮族自治区来宾市忻城县高级中学2024-2025学年高一下学期5月期中质量检测数学试题参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B C C B D C AC ABD 题号 11 答案 ACD 1．C 【详解】由题意可得：. 故选：C. 2．A 【详解】，且，所以，又，所以，充分性满足， 如图：满足，，但不成立，故必要性不满足， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 故选：A. 3．B 【详解】∵向量和的夹角为，，， ∴. 故选：B. 4．C 【详解】在直角梯形中，，， 则， 直角梯形对应的原平面图形为如图中直角梯形， 则有， 所以该平面图形的高为. 故选：C. 5．C 【详解】因为为上靠近的三等分点， 所以，， 为的中点，所以， 所以， 又因为，，所以. 故选：C. 6．B 【详解】如图，作正四棱锥，连结，，交于点，连结， 则平面，则，， 根据对称性，正四棱锥的外接球球心在高的延长线上，设为E，连接EC， 则球的半径，则， 则在内，由可得， 解得，故正四棱锥外接球的体积为﹒ 故选：B． 7．D 【详解】解：的面积， ， ， 则， ， ， ， ，，， ， ． 故选：D． 8．C 【详解】由题意得 ... ...