2024-2025学年广东省深圳高级中学高一（下）期中数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知向量，，若，则实数( ) A. B. C. D. 2.已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题中正确的是( ) A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 3.在中，，，，则( ) A. B. 或 C. D. 或 4.如图，在正方体中，，，，，，分别是棱，，，，，的中点，则下列结论正确的是( ) A. 直线和平行，和相交 B. 直线和平行，和相交 C. 直线和相交，和异面 D. 直线和异面，和异面 5.如图，某人为测量塔高，在河对岸相距的，处分别测得，，其中，与塔底在同一水平面内，则塔高( ) A. B. C. D. 6.已知平面向量在方向上的投影向量为，则取最小值时的值为( ) A. B. C. D. 7.如图，圆锥的轴截面是正三角形，为底面圆的圆心，为的中点，点在底面圆的圆周上，且是等腰直角三角形，则直线与所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 8.在梯形中，，，，，若，则( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.如图，三棱锥中，，，分别为棱，，的中点，平面，，，，则( ) A. ，，，四点共面 B. 点与点到平面的距离相等 C. 直线与直线垂直 D. 三棱锥的体积为 10.在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是( ) A. 若，则是锐角三角形 B. 若是锐角三角形，则 C. 若，，，则满足这组条件的三角形有两个 D. 若，则 11.如图，正方体棱长为，是上的一个动点，下列结论中正确的是( ) A. 的最小值为 B. C. 当在直线上运动时，三棱锥的体积不变 D. 以点为球心，为半径的球面与面的交线长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知一个圆台的上下底面半径分别为和，母线长为，则该圆台的侧面积为_____． 13.如果一个三角形的三边是三个连续的正整数，且这个三角形的最大角是最小角的倍，则这个三角形的周长为_____． 14.若向量与向量的夹角为，我们定义“”为向量与向量的“外积”两个向量的外积是一个向量，它的长度定义为，在中，，，则的最大值为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 如图，在梯形中，，，，为线段的中点，记，． 用，表示向量； 求的值； 求与夹角的余弦值． 16.本小题分 如图，四棱锥中，已知侧棱和底面边长都等于，是线段上的动点． 求四棱锥的体积； 若是的中点，求证：平面； 直线是否与直线互相垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由． 17.本小题分 已知，，分别为锐角三个内角，，的对边，且． 求； 若，为边的中点，求长的最大值； 若，求面积的取值范围． 18.本小题分 如图，正四棱柱中，，底面中心为，点在棱上，且． 当时，证明：平面平面； 当时，求过点，，的平面截正四棱柱所得截面的面积的最小值． 19.本小题分 已知三个内角，，的对边分别为，，，且，，的内心、重心、外心、垂心依次记为点、、、，如图所示． 求和； 连接、，并延长交边于点，用，做基底来表示； 被誉为“数学之王”的瑞士数学家欧拉，在年发表了令人赞美的欧拉线定理：设的外心，重心，垂心分别是，，，则，，三点共线欧拉线，且，请运用欧拉线定理，求的值． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：如图，连接， 因为为线段的中点，， 所以，因为， 所以， 由向量的加法法则得， 故， 所以； 由于，可得，又有， 所以 ， 故； 由向量的减法法则得， 由于，可得，又有， 得到，故， 则， 由得， 故． 16.因为四棱锥中，已知侧棱和底面边长都等于， 所以在底面内的射影点为底面棱形的中心， 且，， ... ...
