2024-2025学年上海市杨浦区控江中学高一（下）4月月考 数学试卷 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.集合，的关系如图所示，则是的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2.如果，那么下列不等式中成立的是( ) A. B. C. D. 3.已知存在实数，满足，则的取值范围为( ) A. B. C. D. 4.已知函数与满足：对任意，，都有． 命题：若是增函数，则不是减函数； 命题：若有最大值和最小值，则也有最大值和最小值． 则下列判断正确的是( ) A. 和都是真命题 B. 和都是假命题 C. 是真命题，是假命题 D. 是假命题，是真命题 二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。 5.已知全集，若集合，则 _____． 6.已知，，若，则的最小值是_____， 7.函数的最小正周期为_____． 8.已知角的终边经过点，则 _____． 9.设常数，若函数的图像关于点对称，则 _____． 10.已知常数且，如果无论取何值，函数的图像恒过定点，则的坐标是_____． 11.已知，，若用、表示，则 _____． 12.若，则 _____． 13.设常数，已知关于的一元二次方程的两个实根分别为、，若，则 _____． 14.已知常数且，若函数的定义域和值域都是，则 _____． 15.现有一圆形纸片，在纸片上剪出一个三角形，其三个顶点在圆上已知三角形的一边长，另一边长且第三条边上的中线长，则圆形纸片的半径长为_____结果精确到 16.已知常数，设若对任意，在中满足的值有且只有一个，则的最小值为_____． 三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 设常数，已知集合，集合． 求集合； 若，求的取值范围． 18.本小题分 为打赢打好脱贫攻坚战，某地加大旅游业投入，准备将扇形空地分隔成三部分建成花卉观赏区，如图所示已知扇形的半径长为米，是钝角，点在弧上，点在半径上，且，设，的周长为米． 当，求的长单位：米； 求的最大值及取到最大值时的值． 19.本小题分 已知 已知是正整数，求的值； 已知常数，是否存在，使函数在区间上是严格增函数？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由． 20.本小题分 已知． 求解关于的方程； 求函数，的值域； 已知常数，设，若函数在区间上的最小值是，求的值． 21.本小题分 对于定义在上的函数，若存在，使满足的整数存在且，则称函数是“函数”． 两个函数，是否是“函数”？为什么？ 求证：函数是“函数”； 已知常数，若函数是“函数”，求的取值范围． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.由等价于，解得， 所以； 由，即，解得， 所以， 因为，所以， 所以，解得，即的取值范围． 18.依题意，且， 所以，又，所以，所以， 则米． 因为，，，的周长为米， 所以，， 所以 ， 又，所以当即时取得最大值，且米． 19.当时，， 则， 当时，， 则， 故为奇函数，则； 存在，，理由如下： 当时，，对称轴为， 故在上单调递增， 又为奇函数，且， 故在上单调递增， 又在上是严格增函数， 故，解得，又， 所以． 20.由，得，， 解得，； 时，， 所以，即的值域为； ， 令，由知，， 则，对称轴为， 当时，在上单调递增， 故当时，取得最小值，最小值为，不满足条件； 当时，在取得最小值， 最小值为，令，解得舍去负值； 当时，在上单调递减， 所以当时，取得最小值，最小值为， 令，解得，但与矛盾，舍去； 综上，． 21.函数是“函数”，函数不是“函数”，理由如下： 为常数函数，定义域为， 设，，显然，满足，且， 因此是“函数”， 函数的定义域为，且该函数严格单调递增， 当时，，因此函数不是“函数”； 证明：函数的定义域为， 令，，满足， 且，因此， 因 ... ...
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