专题26.1 反比例函数的综合 【典例1】如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于、两点． （1）求反比例函数的解析式和点的坐标． （2）点为第一象限内反比例函数图像上一点，过点作轴的平行线，交直线于点，连接，如果的面积为，求点的坐标． （3）点在轴上，反比例函数图像上是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【思路点拨】 （1）将代入，可得点坐标，将代入，可得的值，再根据点、关于原点对称，得出点的坐标； （2）设，则，根据，即可得出的方程； （3）分或，分别根据型全等，表示出点坐标，从而解决问题． 【解题过程】 （1）解：将代入，得， 解得：， ∴， 将代入，得， 解得：， ∴反比例函数的解析式为， ∵点和点关于原点对称， ∴． （2）如图，过点作轴于点，交于， 设，则， ∵， ∴， 当时， 解得：或（负值不符合题意，舍去） 当时， 解得：或（负值不符合题意，舍去） ∴或， ∴点的坐标为或． （3）存在，当时， 当点在轴正半轴时， 过点作轴，过点作于点， ∴， ∵是以为直角边的等腰直角三角形， ∴，，， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， 设， ∵ ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； 当点在轴负半轴时，如图， 过点作轴，过点作于点，过点作于点， 同样可得， ∴，， 设， ∵ ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； 当时， 当点在第一象限时， 过点作轴，过点作于点，过点作于点， 同样可得， ∴，， 设， ∵ ∴， 解得：， ∴； 当点在第三象限时， 过点作轴，过点作于点，过点作于点， 同样可得， ∴，， 设， ∵ ∴， 解得：， ∴， 综上所述，点的坐标为或或． 1．（2022秋·安徽亳州·九年级统考期末）如图，菱形OABC的边OC在x轴的正半轴上，点B的坐标为． （1）求此菱形的边长； （2）若反比例函数的图象经过点A，并且与BC边相交于点D，求点D的坐标． 【思路点拨】 （1）过点B作BE⊥x轴于点E，设菱形的边长为x，则CE=8-x，BE=4，根据勾股定理求出x的值； （2）由（1）可得出A点坐标，可求得反比例函数的解析式，求出直线CB的解析式与反比例函数的解析式列出方程组，解方程组即可求得交点D的坐标． 【解题过程】 （1）解：如图， 点B作BE⊥x轴于点E，设菱形的边长为x， ∵B（8，4）， ∴CE=8-x，BE=4， 在Rt△CBE中，CB2=CE2+BE2， 即x2=（8-x）2+42，解得x=5， ∴菱形的边长为5； （2）解：∵菱形的边长为5， ∴A（3，4）， ∴k=3×4=12，反比例函数解析式为y=． （2）∵点C（5，0），B（8，4）， 设直线CB的解析式为y=kx+b， 则， 解得， ∴直线CB的解析式为：， 由 解得或（不合题意，舍去）， ∴点D坐标为（，）． 2．（2023·湖南株洲·统考一模）如图所示，在平面直角坐标系中，点分别是反函数、一次函数的交点，已知． （1）求出的值，以及一次函数的表达式； （2）在线段上取一点， ①若使点是线段的三等分点，求出点的坐标； ②过点作直线平行轴，交反比例函数于点，连接，记的面积为，求最大值． 【思路点拨】 （1）将分别代入和中，求出的值，即可得到答案； （2）①过点作直线垂直于轴，过点作直线垂直于轴，直线和相交于点，由，求出，从而可得，过点向轴、轴作垂线交于点，于点，根据点是线段的三等分点，即可得到，或，，从而即可得到答案；②设，则，从而得到，高，再根据面积公式得到，即可得到答案． 【解题过程】 （1）解：将分别代入和中， 则，， 解得：，， ； （2）解：①过点作直线垂直于轴，过点作直线垂直于轴，直线和相交于点， ， 由， 解得：， 过点作直线垂直于轴，过点作直线垂直于轴，直线和相交于点， ， ， 过点向轴、轴作垂线交于点，于点， 点是线段的三等分点， ，或，， ， 的横坐标 ... ...
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