第九章 解三角形 9.1 正弦定理与余弦定理 9.1.1 正弦定理 课程标准 素养目标 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法. 2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题. 1.在本节学习中，学生依据学过的三角恒等变换探索正弦定理公式. 2.借助公式的推导和运用，培养学生的数学运算、逻辑推理等核心素养. 第一课时 正弦定理（一） [自我排查] 1.在△ABC，下列式子与的值相等的是（ ） A. B. C. D. 答案：C 解析：由正弦定理得＝，所以＝. 2.在△ABC中，一定成立的等式是（ ） A. asin A＝bsin B B. acos A＝bcos B C. asin B＝bsin A D. acos B＝bcos A 答案：C 解析：由正弦定理＝，得asin B＝bsin A，故选C. 3.在△ABC中，已知BC＝，sin C＝2sin A，则AB＝ . 答案：2 解析：由正弦定理，得AB＝·BC＝2BC＝2. 4.在△ABC中，a＝，b＝，B＝，则A＝ . 答案：或 解析：由正弦定理，得sin A＝＝＝，又A∈（0，π），a＞b，∴A＞B， ∴A＝或. [系统归纳] 1.面积公式 若记△ABC的面积为S，则S＝absin C＝bcsin A＝acsin B. 2.正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝＝. 对正弦定理的理解 （1）适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立. （2）结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式. （3）揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系. （4）主要功能：正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的转化. 3.解三角形 一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 正弦定理的应用范围： （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角. （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角. （3）利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决. 研习一 三角形的面积 [例1] 已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝120°，则△ABC的面积为（ ） A.9 B.18 C.9 D.18 [解析] 由三角形内角和定理知C＝30°，故△ABC为等腰三角形，所以AB＝BC＝6，由三角形面积公式得S＝×6×6×sin B＝9.故选C. [答案] C 通性通法 （1）已知△ABC的一边及对应边的高，S△ABC＝aha＝bhb＝chc. （2）已知△ABC两边及其夹角，S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B. （3）已知△ABC三边a，b，c，S△ABC＝（p＝）. （4）已知△ABC的三边及内切圆半径r，S△ABC＝r（a＋b＋c）. [变式训练] 1.在△ABC中，若A＝，b＝2accos B，c＝1，则△ABC的面积等于（ ） A. B. C. D. 答案：B 解析：由正弦定理得sin B＝2sin A·cosB，故tan B＝2sin A＝2sin＝，因为B∈（0，π），所以B＝.又A＝，所以△ABC是正三角形，所以S△ABC＝bcsin A＝×1×1×＝.故选B. 研习二 已知两角及一边解三角形 [例2] 在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，b，c. [解] A＝180°－（B＋C）＝180°－（60°＋75°）＝45°.由＝，得 b＝＝＝4， 由＝，得c＝＝＝ ＝4（＋1）. ∴A＝45°，b＝4，c＝4（＋1）. 通性通法 已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路 （1）由三角形的内角和定理求出第三个角. （2）由正弦定理公式的变形，求另外的两条边. [易错点拨] 若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值（这时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如75°＝45°＋30°），再根据上述思路求解. [变式训练] 2.在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解这个三角形. 解：∵A＝45°，C＝30°，∴B ... ...
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