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课件网) 第1章 平面向量及其应用 章末总结 第*页 体系整体构建 知识宏观把握 网络 构建 核心 归纳 1. 平面向量的基本概念 主要应掌握向量的概念、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概 念，这些概念是考试的热点，一般都是以选择题或填空题出现，尤其是单位向量常 与向量的平行的坐标形式结合考查，一些学生往往只求出一个而遗漏另一个. 2. 向量的线性运算 主要应掌握向量加法的三角形法则与平行四边形法则，甚至推广到向量加法的多边 形法则；掌握向量减法的三角形法则；数乘向量运算的性质和法则及运算律.同时 要灵活运用这些知识解决三点共线、两线段相等及两直线平行等问题. 3. 向量的坐标运算 主要应掌握向量坐标运算的法则、公式进行向量加、减与数乘运算；能用向量共线 的坐标表示证明两向量平行或证明三点共线；能用平面向量基本定理和基底表示平 面内任意一个向量. 4. 平面向量的应用 （1）一是要掌握平面几何中的向量方法，能用向量证明一些平面几何问题；二是 能用向量解决一些物理问题，如力、位移、速度等. （2）掌握余弦定理、正弦定理，借助向量的运算，求解三角形问题. 第*页 核心专题研究 要点纵横链接 专题1 基底向量表示其它向量 一组不共线向量可以充当平面向量的基底，平面内的任一向量均可写成它的线性表达 式，且表达式是唯一的. [解] 如图，连接 AM 并延长交 BC 于点 D . [练习1] 设 e 1， e 2是不共线的非零向量，且 a ＝ e 1－2 e 2， b ＝ e 1＋3 e 2. （1）证明： a ， b 可以作为一组基底； （2）以 a ， b 为基底，求向量 c ＝3 e 1－ e 2的分解式； （3）若4 e 1－3 e 2＝λ a ＋μ b ，求λ，μ的值. 专题2 向量的共线问题 运用向量平行（共线）证明常用的结论有： （1）向量 a ， b （ a ≠0）共线 存在唯一实数λ，使 b ＝λ a . （2）向量 a ＝（ x 1， y 1）， b ＝（ x 2， y 2）共线 x 1 y 2＝ x 2 y 1. （3）向量 a 与 b 共线 存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1 a ＋λ2 b ＝0. 判断两向量所在的直线共线时，除满足定理的要求外，还应说明此两直线有公 共点. 专题3 平面直角坐标系内的距离问题 向量模的计算公式、两点之间的距离公式及中点坐标公式，不但用于距离的计算、确 定点的坐标还能用于平面几何图形的判定等. [典例3] 已知△ ABC 的顶点 A ， B ， C 的坐标分别是（2，－1），（4，1），（6， －3）.证明：△ ABC 是等腰三角形. [练习3] 已知 a ＝（1，－3）， b ＝（3， m ），若 a ⊥ b ，求｜2 a ＋ b ｜的值. 专题4 向量的应用———解三角形问题 解三角形就是已知三角形中的几个元素，求其他元素的过程，共包括四种类型： （1）已知三角形的两角和一边（一般先用内角和求角或用正弦定理求边）； （2）已知两边及夹角（一般先用余弦定理求第三边）； （3）已知三边（先用余弦定理求角）； （4）已知两边和一边的对角（先用正弦定理求另一边的对角或先用余弦定理求第三 边，注意讨论解的个数）. [典例4]如图，在公园内有一块边长为2 a 的等边三角形空地（记为△ ABC ），现修成 草坪，图中 DE 把草坪分成面积相等的两部分，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上. （1）设 AD ＝ x （ x ≥ a ）， DE ＝ y ，求 x 与 y 之间的函数关系式； （2）如果 DE 是灌溉水管，为节约成本希望它最短，那么 DE 的位置应该在哪里？如 果 DE 是参观线路，希望它最长，那么 DE 的位置又应该在哪里？请予以说明. [练习4] 如图，某住宅小区的平面图呈扇形 AOC . 小区两个出入口设置在点 A 及点 C 处，小区里有两条笔直的小路 AD ， DC ，且拐弯处的转角为120°.已知某人从 C 沿 CD 走到 D 用了10分钟，从 D 沿 D ... ...
