四边形中的对角互补和含60°角菱形—浙教版数学八下解题模型专项训练

四边形中的对角互补和含60°角菱形—浙教版数学八下解题模型专项训练 一、四边形中的对角互补模型 1．如图，在平面直角坐标系中，A(-3，0)，B为y轴正半轴上一点，C为y轴负半轴上一点，连接AB，AC，过点 C作CD⊥CA，且使 点D 在第一象限，连接BD，若∠ABD=90°，则点B 的坐标为　 　. 【答案】(0，3) 【知识点】坐标与图形性质；三角形全等的判定-AAS；四边形中的对角互补模型；全等三角形中对应边的关系 【解析】【解答】解：如解图，过点 C 分别作 CE⊥AB 于点 E，CF⊥BD交BD 的延长线于点 F， ∵∠ABD=∠ACD=90°， ∴∠BAC+∠BDC=180°， ∵ ∠BDC+∠CDF=180°， ∴ ∠CAE =∠CDF， ∵∠AEC=∠DFC，AC=DC， ∴△CAE≌△CDF， ∴CE=CF， ∴ BC 平分∠ABD， ∴ ∠ABO=45°， ∴△ABO为等腰直角三角形， ∴OB=OA=3， ∴点B的坐标为(0，3). 故答案为：(0，3). 【分析】过点 C 分别作 CE⊥AB 于点 E，CF⊥BD交BD 的延长线于点 F，然后证明△CAE≌△CDF，即可得到CE=CF，然后得到△ABO为等腰直角三角形，解题即可. 2．在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD. （1）【探究发现】如图①，若∠BAD=，∠ABC=∠ADC=.求证：AD+AB=AC； （2）【拓展迁移】如图②，若∠BAD=，∠ABC+∠ADC=. ①猜想AB、AD、AC三条线段的数量关系，并说明理由； ②若AC=10，求四边形ABCD的面积。 【答案】（1）证明：∵AC平分∠BAD，∠BAD＝， ∴∠DAC＝∠BAC＝， ∵∠ADC＝∠ABC＝， ∴∠ACD＝∠ACB＝， ∴AD＝． ∴AD＋AB＝AC； （2）解：①AD＋AB＝AC， 理由：过点C分别作CE⊥AD于E，CF⊥AB于F． ， ∵AC平分∠BAD， ∴CF＝CE， ∵∠ABC＋∠ADC＝，∠EDC＋∠ADC＝， ∴∠FBC＝∠EDC， 又∠CFB＝∠CED＝， ∴△CFB△CED， ∴FB＝DE， ∴AD＋AB＝AD＋FB＋AF＝AD＋DE＋AF＝AE＋AF， 在四边形AFCE中，由⑴题知：AE＋AF＝AC， ∴AD＋AB＝AC； ②在Rt△ACE中，∵AC平分∠BAD，∠BAD＝ ∴∠DAC＝∠BAC＝， 又∵AC＝10， ∴CE＝A， ∵CF＝CE，AD＋AB＝AC， ∴ ＝． 【知识点】含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—边角关系；四边形中的对角互补模型 【解析】【分析】(1)由题意可得∠ACD＝∠ACB＝，从而有AD＝，则AD＋AB＝AC. （2） ①过点C分别作CE⊥AD于E，CF⊥AB于F，证△CFB△CED，得FB=DE，则AD＋AB＝AD＋FB＋AF＝AD＋DE＋AF＝AE＋AF，由（1）知：AE＋AF＝AC，代入即可. ②将四边形ABCD的面积转化为S△ACD+S△ABC，结合①的结论可解决问题. 3．（2025八上·龙岗期末）【定义】 如果一个四边形的其中一组对角互补，那么这个四边形叫做“对补四边形”。 如图1，在四边形ABCD中，若∠A+∠C=180°，则四边形ABCD是对补四边形。 图1 图2 图3 备用图 【应用】 （1）如图1，在对补四边形ABCD中，∠A=100°，则∠C=　 　； （2）如图2，在对补四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=4，DC=2，则BC=　 　； （3）如图3，在对补四边形ABCD中，AC平分∠BAD。 ①求证：BC=CD； ②若∠BAD=60°，请探究AB、AC、AD的数量关系并说明理由。 【答案】（1）80° （2） （3）解：①过点C作CE⊥AD于E，作CF⊥AB于F。 ∵AC平分∠BAD，CE⊥AD，CF⊥AB ∴CE=CF ∵CE⊥AD，CF⊥AB ∴∠CED=∠CFB=90° ∵四边形ABCD是对补四边形 ∴∠B+∠CDA=180°， ∵∠CDE+∠CDA=180° ∴∠B=∠CDE ∴△CED≌△CFB(AAS) ∴CD=CB ②∵AC平分∠BAD， ∴∠EAC=∠BAC=∠BAD=30° ∵∠CED=∠CFB=90°，CE=CF ∴△ACE≌△ACF(AAS) ∴AE=AF ∵△CED≌△CFB(AAS) ∴ED=BF ∴AD+AB=AE-ED+AF+BF=2AE 在Rt△AEC中，∠EAC=30° ∴AE=AC ∴AD+AB=2AE=AC 【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；角平分线的判定；四边形中的对角互补模型 【解析】【解答】解：（1）由题意可得 ... ...