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课件网) 一元线性回归模型： Y：因变量或响应变量， x：自变量或解释变量， a：截距参数， b：斜率参数， e：Y与bx+a之间的随机误差. 温故知新： 8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计（第一课时） 在一元线性回归模型中，表达式Y=bx+a+e刻画的是变量Y与变量x之间的线性相关关系，其中参数a和b未知，需要根据成对样本数据进行估计.由模型的建立过程可知，参数a和b刻画了变量Y与变量x的线性关系，因此通过成对样本数据估计这两个参数，相当于寻找一条适当的直线，使表示成对样本数据的这些散点在整体上与这条直线最接近. 探究：利用散点图8.2-1找出一条直线，使各散点在整体上与此直线尽可能接近. 在图中选择这样的两点画直线，使得直线两侧的点的个数基本相同，把这条直线作为所求直线，如图(2)所示. 采用测量的方法，先画出一条直线，测量出各点与它的距离，然后移动直线，到达一个使距离的和最小的位置.然后测量出此时的斜率和截距，就可得到一条直线，如图(1)所示. (1) 方法一： (2) 方法二： 在散点图中多取几对点，确定出几条直线的方程，再分别求出这些直线的斜率、截距的平均数，将这两个平均数作为所求直线的斜率和截距，如图(3)所示. (2) 方法三： 上面这些方法虽然有一定的道理，但比较难操作，我们需另辟蹊径. 先进一步明确我们面临的任务：从成对样本数据出发，用数学的方法刻画“从整体上看，各散点与直线最接近”. 通常，我们会想到利用点到直线y=bx+a的“距离”来刻画散点与该直线的接近程度，然后用所有“距离”之和刻画所有样本观测数据与该直线的接近程度. 设满足一元线性回归模型的两个变量的n对样本数据为(x1，y1)，(x2，y2)， ，(xn，yn)，由yi=bxi+a+ei (i=1，2， ， n)，得 显然|ei|越小，表示点(xi , yi)与点(xi ，bxi+a)的“距离”越小，即样本数据点离直线y=bx+a的竖直距离越小，如右图所示.特别地，当ei = 0时，表示点(xi，yi)在这条直线上. 因此，可以用这n个竖直距离之和 来刻画各样本观测数据与直线y=bx+a的“整体接近程度”. 在实际应用中，因为绝对值使得计算不方便，所以人们通常用各散点到直线的竖直距离的平方之和 来刻画“整体接近程度”. 所以我们可以取使Q达到最小的a和b的值作为截距和斜率的估计值. 要使Q取到最小值，则 ∴要使Q取得最小值，当且仅当b的取值为 综上，当a，b的取值为 时，Q达到最小. 经验回归方程与最小二乘估计： 我们将 称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线.这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，利用公式(2)求得的 叫做b，a的最小二乘估计. 这里的“二乘”是平方的意思. x 1 2 3 4 5 6 y 0 2 1 3 3 4 练习1：已知x与y之间的几组数据如下表 则y对x的经验回归直线必过点_____ 父亲身高x/cm 174 176 176 176 178 儿子身高y/cm 175 175 176 177 177 C 练习2：为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对身高数据如下： 则y对x的经验回归直线方程为( ) 对上表中的数据，利用公式(2)可以计算出 得到儿子身高Y关于父亲身高x的经验回归方程为 相应的经验回归直线如下图所示. 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 父亲身高/cm 174 170 173 169 182 172 180 172 168 166 182 173 164 180 儿子身高/cm 176 176 170 170 185 176 178 174 170 168 178 172 165 182 显然不一定，因为还有其他影响儿子身高的因素，父亲身高不能完全决定儿子身高．不过，我们可以作出推测，当父亲身高为176 cm时，儿子身高一般在177 cm左右． 实际上，如果把这所学校父亲身高为176 cm的所有儿子身高作为一个子总体，那么177 cm是这个子总体的均值的估计值． 根据模型，父 ... ...
