初中数学北师大版（2024）七年级下册第四章 三角形----三角形全等之八字形全等（无答案）

三角形全等之八字形全等 【模型条件】 平行线+中点 【模型解析】 该模型由两个全等三角形进行180°旋转，使得两组对应边共线，对应角构成内错角，所以一定会形成平行和中点。如图。 所以，在两条平行线间如果存在中点，一定会形成全等三角形。如图已知，则有 【模型总结】 ①平行线间出现中点，一定会有全等。 ②证明线段中点问题，可以采用作垂直构造8字全等来解决 ③三角形的中线问题，常采用倍长中线构造8字全等转换条件 【例1-1】如图、在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD 求证：D是BC的中点 【例1-2】如图所示：△ABC是等边三角形，D、E分别是AB及AC延长线上的一点，且BD＝CE，连接DE交BC于点M．求证：MD＝ME 【例1-3】如图，等边三角形ABC中，E是线段AC上一点，F是BC延长线上一点．连接BE，AF．点G是线段BE的中点，BN∥AC，BN与AG延长线交于点N （1）若∠BAN＝15°，求∠N （2）若AE＝CF，求证：2AG＝AF 【例1-4】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是 　 　． A．SSS　　　　　　B．SAS　　　　　　C．AAS　　　　　　　　D．HL （2）求得AD的取值范围是 　C　． A．6＜AD＜8　　　B．6≤AD≤8　　C．1＜AD＜7　　D．1≤AD≤7 （3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF． 【例1-5】阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明． 已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE 求证：AB＝CD 分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证明AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形， 现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中两种对原题进行证明 （1）延长DE到F，使得EF＝DE （2）作CG⊥DE于G，BF⊥DE于F交DE的延长线于F （3）过点C作CF∥AB交DE的延长线于F 【例1-6】如图，在∠ABC＝90°，∠DBE＝90°，BA＝BC，BD＝BE，连接AE、CD，AE所在直线交CD于点F，连接BF （1）连接AD，EC，求证：AD＝EC （2）若BF⊥AF，求证：点F为CD的中点 【例1-7】如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD，BE分别为BC，AC边上的高，连接DE，过点D作DF⊥DE交BE于点F，G为BE中点，连接AF，DG． （1）如图1，若点F与点G重合，求证：AF⊥DF （2）如图2，请写出AF与DG之间的关系并证明 【例1-8】P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连PQ交AC边于D． （1）证明：PD＝DQ． （2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的长． 【例1-9】已知AM∥BN，AE平分∠BAM，BE平分∠ABN， （1）求∠AEB的度数． （2）如图2，过点E的直线交射线AM于点C，交射线BN于点D，求证：AC+BD＝AB； （3）如图3，过点E的直线交射线AM的反向延长线于点C，交射线BN于点D，AB＝5，AC＝3，S△ABE﹣S△ACE＝2，求△BDE的面积． ... ...