人教B版高中数学必修第三册第八章向量的数量积与三角恒等变换8.2.4三角恒等变换的应用课件+学案+作业含答案

课时作业(十九)　三角恒等变换的应用 (分值：80分) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．若α∈[，2π]，则 ＝(　　) A．cos α－sin α B．cos α＋sin α C．－cos α＋sin α D．－cos α－sin α 解析：因为α∈[，2π]，所以sin α<0，cos α>0，则 － ＝ ＝|cosα|－|sin α|＝cos α－(－sin α)＝cos α＋sin α. 答案：B 2．已知α∈(0，π)，sin (－α)＝，则cos 2α＝(　　) A． B．－ C．－ D． 解析：因为α∈(0，π)，－α∈(－)，sin (－α)＝>0，所以－α∈(0，)，cos (－α)＝，cos 2α＝cos [2(－α)－]＝sin [2(－α)]＝2sin (－α)cos (－α)＝2×＝. 答案：A 3．在△ABC中，若sin A sin B＝cos2，则△ABC是(　　) A．等边三角形 B．等腰三角形 C．不等边三角形 D．直角三角形 解析：由sinA sin B＝cos2，得cos(A－B)－cos (A＋B)＝，∴cos (A－B)＋cos C＝cos C，即cos (A－B)＝1，∴A－B＝0，即A＝B，∴△ABC是等腰三角形． 答案：B 4．函数f(x)＝sin x(1＋cos x)的最大值为(　　) A． B． C． D． 解析：方法一　不妨设x∈[0，2π]，则f′(x)＝cos x＋2cos2x－， 整理得到f′(x)＝(2cos x－1)(cos x＋1)， 当x∈(0，，2π)时，f′(x)>0；当x∈()时，f′(x)<0， 故f(x)在(0，)，(，2π)上为增函数，在()上为减函数， 而f(2π)＝0，f()＝，故f(x)的最大值为. 方法二　由万能公式得sin x＝，cosx＝， 代入原式并化简得f(x)＝(1＋)＝， 令tan＝t，因为题设中欲求最大值，故可设t>0， 故原式转化为f(t)＝＝＝＝， 当且仅当t＝时取等号，显然最大值为.故选D. 答案：D 二、填空题(每小题5分，共15分) 5．已知θ∈(0，)，且cos 2θ＝，则tan θ＝_____. 解析：由cos 2θ＝＝＝， 所以3－3tan2θ＝tan2θ，则tan2θ＝＝， 由θ∈(0，)，则tan θ＝. 答案： 6．化简：＝_____． 解析：＝ ＝＝4sin α. 答案：4sin α 7．在△ABC中，若tan A，tan B是x的方程x2－px＋1－p＝0的两个实根，则角C＝_____． 解析：对于方程x2－px＋1－p＝0，则Δ＝p2－4(1－p)＝p2＋4p－4>0，解得p<－2－2或p>－2＋2， 因为tan A，tan B是x的方程x2－px＋1－p＝0的两个实根， 由韦达定理可得tan A＋tan B＝p，tan A tan B＝1－p， 所以tan (A＋B)＝＝＝1， 因为0与sin (x0＋)＝，矛盾，则x0＋∈(，π)． 从而cos (x0＋)＝－ ＝－＝－. 于是f(x0＋)＝sin(x0＋) ＝sin [(x0＋)＋] ＝[sin (x0＋)cos ＋cos (x0＋)sin ] ＝)＝. 9．(15分)回答下面两题． (1)已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，求sin α－cos α的值． (2)已知tan α＝4，且sin (α－β)＝，0<β<α<，求角β的值． 解析：(1)因为sin α＋cos α＝，两边平方后得1＋2sin αcos α＝，即2sin αcos α＝－<0，因为α∈(0，π)， 所以α∈(，π)，所以sin α>0，cos α<0， 因为(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋＝，sin α－cos α>0， 所以sin α－cos α＝. (2)因为0<β<α<，所以0<α－β<， sin (α－β)＝，所以cos (α－β)＝＝， 由tanα＝4，得 解得 sin β＝sin [α－(α－β)]＝sin αcos (α－β)－cos α·sin (α－β)＝＝，且0<β<， 所以β＝. [尖子生题库] 10．( ... ...