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课件网) 第二章 5.2 向量数量积的坐标表示 5.3 利用数量积计算长度与角度 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 目录索引 学以致用·随堂检测促达标 课程标准 1.掌握平面向量数量积的坐标表示,会根据向量的坐标表示求数量积、模和夹角. 2.掌握向量垂直条件的坐标表示,并能灵活运用. 3.会利用数量积计算长度与角度. 基础落实·必备知识一遍过 知识点一 向量数量积的坐标表示 数量积的坐标表示:已知两个向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b= ,即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 名师点睛 数量积的坐标形式的推导 在平面直角坐标系中,设i,j分别是x轴和y轴方向上的单位向量,则a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)=x1x2i·i+x1y2i·j+x2y1j·i+y1y2j·j. 因为i·i=j·j=1,i·j=j·i=0, 所以a·b=x1x2+y1y2. x1x2+y1y2 自主诊断 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1y2+x2y1.( ) (2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b x1y2-x2y1=0.( ) (3)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b的充要条件为x1y1-x2y2=0.( ) 2.[苏教版教材例题]已知a=(2,-1),b=(3,-2),求(3a-b)·(a-2b). × × × 解 因为a·b=2×3+(-1)×(-2)=8, a2=22+(-1)2=5, b2=32+(-2)2=13, 所以(3a-b)·(a-2b)=3a2-7a·b+2b2=3×5-7×8+2×13=-15. 知识点二 向量的模与夹角的坐标表示 2.两向量的夹角公式:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ,则 a·b=|a||b|cos θ=x1x2+y1y2, 特别地,a⊥b . x1x2+y1y2=0 名师点睛 投影数量的坐标表示 自主诊断 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)若A(1,0),B(0,-1),则 (2)若两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)满足x1x2+y1y2=0,则向量a与b的夹角为0°.( ) (3)若向量a=(1,0),b ,则|a|=|b|.( ) √ × × 2.已知向量a=e1-e2,b=4e1+3e2,其中e1=(1,0),e2=(0,1). (1)试计算a·b及|a+b|的值; (2)求向量a与b夹角的余弦值. 解 (1)a=e1-e2=(1,0)-(0,1)=(1,-1), b=4e1+3e2=4(1,0)+3(0,1)=(4,3), a·b=4×1+3×(-1)=1,a+b=(1,-1)+(4,3)=(5,2), (2)设
=θ,由a·b=|a||b|cos θ, 重难探究·能力素养速提升 探究点一 数量积的坐标运算 角度1.数量积的基础坐标运算 【例1】 已知向量a=(-1,2),b=(3,2). (1)求a·(a-b); (2)求(a+b)·(2a-b); (3)若c=(2,1),求(a·b)·c,a·(b·c). 解 (1)a·(a-b)=a·a-a·b=(-1)2+22-[(-1)×3+2×2]=4. (2)因为a+b=(-1,2)+(3,2)=(2,4), 2a-b=2(-1,2)-(3,2)=(-2,4)-(3,2)=(-5,2), 所以(a+b)·(2a-b)=(2,4)·(-5,2)=2×(-5)+4×2=-2. (3)(a·b)·c=[(-1,2)·(3,2)](2,1)=(-1×3+2×2)(2,1)=(2,1). a·(b·c)=(-1,2)[(3,2)·(2,1)]=(-1,2)(3×2+2×1)=8(-1,2)=(-8,16). 角度2.数量积的坐标运算在几何图形中的应用 【例2】 在矩形ABCD中,AB=3,BC=2,点M,N分别在DC,BC上,且 5 规律方法 数量积运算的途径及注意点 (1)进行向量的数量积运算,前提是牢记有关的运算律和运算性质.解题时通常有两条途径:一是先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算;二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算. (2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目,只需把握图形的特征,建立平面直角坐标系,写出相应点的坐标即可求解. 变式训练1已知点A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则 等于( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 B 探究点二 利用坐标运算解决模的问题 【例3】 已知向量a=(1,2),b=(3,-1). (1)求|a-2b|; (2)求与a垂直的单位向量; (3)求与b平行的单位向量. 规律方法 1.求向量的模的两种基本策略 (1)字母表示下的运算:利用|a|2=a·a,将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的运算. (2) ... ... 
