2.3.2 直线与圆的综合问题（课件 学案 练习）高中数学北师大版（2019）选择性必修 第一册 第一章

2.3.2　直线与圆的综合问题 课时目标 进一步理解直线与圆的位置关系，能解决直线与圆的方程有关的实际应用问题.掌握解决与圆有关最值(范围)问题和常用方法. 题型(一)　直线与圆的方程的实际应用 [例1]　一艘海监船上配有雷达，其监测范围是半径为26 km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，船速为10 km/h，这艘外籍轮船能被海监船监测到且持续时间约为(　 ) A.1 h B.2 h C.3 h D.4 h 听课记录： 建立平面直角坐标系求解直线与圆有关问题的思路 (1)选择合适坐标原点(方便求解直线、圆的方程)，建立平面直角坐标系； (2)根据题意写出直线与圆的方程； (3)根据直线与圆的位置关系，采用几何法计算相关长度，完成问题的求解.　　 [针对训练] 1.一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车篷的篷顶距地面的高度不得超过(　 ) A.1.4米 B.3.5米 C.3.6米 D.2米 2.台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区的时间为_____ h. 题型(二)　与圆有关的最值问题 题点1　过圆内一点的最长弦、最短弦 [例2]　已知圆P经过A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)三点，则圆P截直线x＋ay＋2＝0所得弦长的最小值为(　 ) A.2 B.4 C. D.2 听课记录： 　 最长弦和最短弦问题的解法 (1)求出圆的标准方程，判断点是在圆内还是在圆外； (2)过圆内一点的最长弦为圆的直径，此时直线过圆心；最短弦与圆心和该点的连线垂直.最长弦长为直径，可直接得出，最短弦长可利用垂径定理和勾股定理求得.　 题点2　与圆有关的斜率、距离的最值问题 [例3]　已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3. (1)求的最大值和最小值； (2)求y－x的最大值和最小值； (3)求x2＋y2的最大值和最小值. 听课记录： (1)ax＋by型的最大值转化为直线ax＋by＝c的截距的最大值； (2)型的最大值和最小值转化为过点(x，y)和(a，b)的直线斜率的最大值和最小值； (3)(x－a)2＋(y－b)2型的最大值和最小值转化为(x，y)和(a，b)的距离的最大值和最小值的平方.　　 题点3　圆上的动点到直线的距离的最值和范围问题 [例4]　已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k＝_____. 听课记录： 　 设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r， (1)当直线与圆相离时，圆上一点到直线的距离的最大值为d＋r，最小值为d－r，如图①； (2)当直线与圆相切时(d＝r)，圆上一点到直线的距离的最大值为2r，最小值为0，如图②； (3)当直线与圆相交时，圆上一点到直线的距离的最大值为d＋r，最小值为0，劣弧上的点到直线的距离的最大值为r－d，如图③. 　 [针对训练] 3.从点P(1，－2)向圆x2＋y2－2mx－2y＋m2＝0作切线，当切线长最短时，m的值为(　 ) A.－1 B.1 C.2 D.0 4.已知点O(0,0)，A(0,2)，点M是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，则△OAM面积的最小值为_____. 5.已知x和y满足(x＋1)2＋y2＝. (1)求x2＋y2的最值； (2)试求点P(3,3)到圆的最远距离. 直线与圆的综合问题 [题型(一)] [例1]　选B　如图，根据题意以海监船的位置为坐标原点，其正东方向为x轴，正北方向为y轴建立平面直角坐标系，所以A(40,0)，B(0，30)，圆O：x2＋y2＝676，记从N处开始被监测，到M处监测结束，所以lAB：＋＝1，即lAB：3x＋4y－120＝0，因为O到lAB：3x＋4y－120＝0的距离为|OO′|＝＝24，所以|MN|＝2＝20，所以该艘外籍轮船能被海监船监测到且持续时间约为＝2 h. [针对训练] 1.选B　由题意，以圆心作为原点建立如图所示的平面直角坐标系，易知半圆的方程为x2＋y2＝12.96(y≥0)，令x＝0.8，解得y≈3. ... ...