2.1 双曲线及其标准方程 课时目标 1.了解双曲线的定义，掌握双曲线的标准方程及其求法(待定系数法、定义法). 2.会利用双曲线的定义和标准方程解决焦点三角形问题. (一) 双曲线的定义 定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于_____(大于零且小于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作双曲线 焦点 _____叫作双曲线的焦点 焦距 _____叫作双曲线的焦距 微点助解 (1)在双曲线定义中，若|MF1|－|MF2|＝2a(0<2a<|F1F2|)，即“去掉绝对值符号”，则动点M的轨迹为双曲线的一支(靠近点F2). (2)2a的大小与点M的轨迹如下表所示. 条件 结论 0<2a<|F1F2| 动点M的轨迹是双曲线 2a＝|F1F2| 动点M的轨迹是分别以F1，F2为端点，指向F1，F2所在直线两侧的射线 2a>|F1F2| 动点M不存在，因而轨迹不存在 2a＝0 动点M的轨迹为线段F1F2的垂直平分线 [基点训练] 已知点F1(－5,0)，F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a为3和5时，点P的轨迹分别是( ) A.双曲线和一条直线 B.双曲线和一条射线 C.双曲线的一支和一条直线 D.双曲线的一支和一条射线 (二)双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0) 图形 焦点坐标 _____ _____ 焦距 |F1F2|＝_____ a，b，c的关系 c2＝_____ 微点助解 (1)双曲线的标准方程是指当双曲线在标准位置时的方程，所谓标准位置，就是指双曲线的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴. (2)焦点F1，F2的位置是双曲线的定位条件，它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正项走”，即若x2的系数为正，则焦点在x轴上；若y2的系数为正，则焦点在y轴上. (3)参数a，b，c的几何意义：在双曲线的标准方程中，因为a，b，c三个量满足c2＝a2＋b2，所以长度分别为a，b，c的三条线段恰好构成一个直角三角形，且长度为c的线段是斜边，如图所示. [基点训练] 1.方程＋＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则实数k的取值范围为( ) A.(－∞，1) B.(2，＋∞) C.(1,2) D.(－∞，1)∪(2，＋∞) 2.以F1(－，0)，F2(，0)为焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是( ) A.－y2＝1 B.－y2＝1 C.－y2＝1 D.x2－＝1 题型(一) 双曲线的标准方程 [例1] 根据下列条件，分别求双曲线的标准方程. (1)经过点P，Q； (2)c＝，经过点(－5,2)，焦点在x轴上. 听课记录： [方法技巧] 用待定系数法求双曲线标准方程的步骤 [提醒] 求双曲线的标准方程时，焦点不确定可设方程为mx2－ny2＝1(mn>0)或mx2＋ny2＝1(mn<0). [针对训练] 1.求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)焦点在x轴上，a＝2，经过点A(－5,2)； (2)经过A(－7，－6)，B(2，3)两点； (3)过点P(－，2)，且与椭圆＋＝1有相同焦点. 题型(二) 与双曲线有关的轨迹问题 [例2] 已知A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为焦点的椭圆过A，B两点，则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程为( ) A.y2－＝1(y≤－1) B.y2－＝1(y≥1) C.－x2＝1(y≤－4) D.－x2＝1(y≥4) 听课记录： 求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种： (1)列出等量关系，化简得到方程； (2)寻找几何关系，由双曲线的定义得出对应的方程. [提醒] ①双曲线的焦点所在的坐标轴；②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支. [针对训练] 2.在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(－3，0)，B(3,0)，其内切圆圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程为( ) A.－＝1(x>2) B.－＝1(x>3) C.＋＝1(0
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