第一章 3.1.3　等比数列的综合问题（课件 学案 练习）高中数学 北师大版（2019）选择性必修 第二册

3.1.3　等比数列的综合问题(深化课———题型研究式教学) 课时目标 进一步理解等比数列,能利用递推关系构造等比数列,掌握等比数列的判定方法及灵活设元解决等比数列问题. 题型(一)　由递推关系求等比数列的通项公式 [例1]　已知数列{an}满足a1=,an+1=(an+1),求通项公式an. 听课记录: [思维建模] 　　对于形如an+1=Aan+B(A≠0且A≠1,B≠0)的递推关系的递推数列,即数列相邻的次数都是一次,尾巴上有一个常数,求此类数列的通项公式,通常采用待定系数法将其转化为an+1+k=A(an+k)求解. 　　[针对训练] 1.已知数列{an}满足a1=2,an+1=2an+2,求数列{an}的通项公式. 题型(二)　等比数列的判定或证明 [例2]　已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn+1=4an+2(n∈N+).设bn=an+1-2an,求证:{bn}是等比数列. 听课记录: 　　[变式拓展] 　若本例增加条件“cn=”,求证:{cn}是等比数列. [思维建模] 判定或证明等比数列的方法 (1)定义法:=q(n∈N+且n≥2,q为不为0的常数). (2)等比中项法:=an-1an+1(n∈N+且n≥2,an≠0). (3)通项公式法:an=a1qn-1=·qn=A·qn(A≠0). 　　[针对训练] 2.已知数列{an}的首项为3,且满足an+1+an=3·2n. (1)求证:{an-2n}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式,并判断数列{an}是否是等比数列. 题型(三)　灵活设项求解等比数列 [例3]　有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数. 听课记录: 　　[变式拓展] 　若将本例中“和是16”改为“积是-128”,将“和是12”改为“积是16”,如何求解 [思维建模] 在解决与等比数列有关的数的设法时常用的规律 对称设元法:一般地,连续奇数个项成等比数列,可设为…,,x,xq,…;连续偶数个项成等比数列,可设为…,,,xq,xq3,…(注意:此时公比q2>0,并不适合所有情况),这样既可以减少未知量的个数,也使得解方程较为简捷. [针对训练] 3.三个互不相等的数构成等差数列,如果适当排列这三个数,又可构成等比数列,这三个数的和为6,求这三个数. 4.已知数列{an}和{bn}满足a1=λ,an+1=an+n-4,bn=(-1)n(an-3n+21),其中λ为实数,n为正整数. (1)求证:对任意实数λ,数列{an}不是等比数列; (2)试判断{bn}是否为等比数列. 等比数列的综合问题 [题型(一)] [例1]　解:∵an+1=an+, ∴an+1-1=(an-1). 又a1-1=-. ∴数列{an-1}是首项为-,公比为的等比数列. ∴an-1=-×, ∴an=1-×. [针对训练] 1.解:∵an+1=2an+2,∴an+1+2=2(an+2), 又a1+2=4, ∴{an+2}是以4为首项,2为公比的等比数列, ∴an+2=4×2n-1,∴an=2n+1-2(n∈N+). [题型(二)] [例2]　证明:由Sn+1=4an+2(n∈N+),可得n=1时,S2=a1+a2=4a1+2,又a1=1,则a2=5;当n≥2时,an+1=Sn+1-Sn=4an+2-(4an-1+2), 即an+1=4an-4an-1,故an+1-2an=2(an-2an-1),即bn=2bn-1.由b1=a2-2a1=3,可知bn≠0, 故=2,故{bn}是等比数列. [变式拓展] 证明:由例题可得bn=3×2n-1, 故an+1-2an=3×2n-1, 所以-=,即为等差数列,首项为,公差为,所以=+(n-1),即an=(3n-1)×2n-2, 所以cn==2n-2,则==2,故{cn}是等比数列. [针对训练] 2.解:(1)证明:由an+1+an=3·2n,an+1=3·2n-an, 得an+1-2n+1=3·2n-an-2n+1=-(an-2n),又a1-2=1≠0, 所以{an-2n}是以1为首项,-1为公比的等比数列. (2)由(1)得an-2n=1×(-1)n-1,an=2n+(-1)n-1,所以a1=3,a2=3,a3=9,≠a1a3, 所以数列{an}不是等比数列. [题型(三)] [例3]　解:法一　设第一个数为x,则第四个数为16-x;设第二个数为y,则第三个数为12-y. 根据题意,得 即 将①代入②,整理得y2-13y+36=0, 解得y=4或y=9. 当y=4时,x=0,这四个数分别为0,4,8,16; 当y=9时,x=15,这四个数分别为15,9,3,1. 故所求的四个数分别为0,4,8,16或15,9,3,1. 法二　设这四个数依次为a-d,a,a+d,(a≠0). 根据题意,得 解得或 当a=4,d ... ...