第二章 6.3.2　函数的极值与最值的综合问题（课件 学案 练习）高中数学 北师大版（2019）选择性必修 第二册

6.3.2　函数的极值与最值的综合问题 (深化课———题型研究式教学) 课时目标 利用导数会求解含参函数的极值、最值问题,进一步掌握函数的极值、最值问题. 题型(一)　含参数的极值问题 [例1]　(2024·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)=ex-ax-a3. (1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)若f(x)有极小值,且极小值小于0,求a的取值范围. 听课记录: [思维建模] 　　求含参函数极值的步骤与求不含参数函数极值的步骤相同,但要注意有时需要对参数进行分类讨论. 　　[针对训练] 1.设函数f(x)=2x3-3(a-1)x2+1,其中a≥1. (1)求f(x)的单调区间; (2)讨论f(x)的极值. 题型(二)　含参数的最值问题 [例2]　已知函数f(x)=x3-ax2-a2x,求函数f(x)在区间[0,+∞)上的最小值. 听课记录: [思维建模] 　　对参数进行讨论,其实质是讨论导函数大于0,等于0,小于0三种情况.若导函数恒大于0或小于0,则函数在已知闭区间上是单调函数,最值在端点处取得;若导函数可能等于0,则求出极值点后求极值,再与端点值比较后确定最值. 　　[针对训练] 2.已知函数f(x)=x3-3ax+1. (1)若函数f(x)在x=-1处取得极值,求实数a的值; (2)当x∈[-2,1]时,求函数f(x)的最大值. 题型(三)　利用最值证明不等式 [例3]　函数f(x)=x+ax2+bln x的图象在点P(1,0)处的切线斜率为2. (1)求a,b的值; (2)证明:f(x)≤2x-2对任意正实数x恒成立. 听课记录: [思维建模] 利用最值证明不等式的解题思路 (1)构造函数h(x)=f(x)-g(x). (2)问题转化为证明f(x)-g(x)≥0,即证h(x)≥0即可. (3)讨论单调性:根据h'(x)与0的大小关系确定函数h(x)的单调性. (4)求最值:由函数h(x)的单调性确定最值,并确认h(x)≥h(x)min≥0即可. [特别说明]　证明 x∈D,都有f(x)-g(x)≥0,若能转化为 x1,x2∈D都有f(x1)min≥g(x2)max,即可得证. 　　[针对训练] 3.已知函数f(x)=ln x-,证明:f(x)0对任意x∈R恒成立, 可知f(x)在R上单调递增,无极值,不合题意; 若a>0,令f'(x)>0,解得x>ln a; 令f'(x)<0,解得x0, 令g(a)=a2+ln a-1,a>0, 则g'(a)=2a+>0, 可知g(a)在(0,+∞)上单调递增,且g(1)=0, 不等式a2+ln a-1>0等价于g(a)>g(1), 解得a>1, 所以a的取值范围为(1,+∞). 法二　因为f(x)的定义域为R, 且f'(x)=ex-a, 若f(x)有极小值,则f'(x)=ex-a有零点, 令f'(x)=ex-a=0,可得ex=a, 可知y=ex与y=a有交点,则a>0, 若a>0,令f'(x)>0,解得x>ln a;令f'(x)<0,解得x0, 令g(a)=a2+ln a-1,a>0, 因为y=a2,y=ln a-1在(0,+∞)上单调递增, 可知g(a)在(0,+∞)上单调递增,且g(1)=0, 不等式a2+ln a-1>0等价于g(a)>g(1),解得a>1, 所以a的取值范围为(1,+∞). [针对训练] 1.解:由已知得f'(x)=6x[x-(a-1)], 令f'(x)=0,解得x1=0,x2=a-1. (1)当a=1时,f'(x)=6x2≥0, 故f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞),无单调递减区间; 当a>1时,f'(x)=6x[x-(a-1)]. f'(x),f(x)随x的变化情况如下表. x (-∞, 0) 0 (0,a -1) a-1 (a-1, +∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) 单调 递增 极大 值 单调 递减 极小 值 单调 递增 由表可知函数f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(a-1,+∞),单调递减区间 ... ...