第14讲 8.6.3平面与平面垂直（第1课时 平面与平面垂直的判定定理） 课程标准 学习目标 ①理解二面角及其平面角的概念并掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角。 ②掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直。 ③会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算。 ④能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角。 ⑤能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件。 1.空间中平面与平面的垂直关系是“空间直线、平面的垂直”中的又一个重点，是继直线、平面的平行关系，直线与平面的垂直关系之后的迁移与拓展，是“类比”与“转化”思想的又一重要体现.本节内容包括二面角和两个平面互相垂直的定义、判定与性质，这一节的学习对理顺“空间直线、平面的垂直”的知识结构体系、提高学生的综合能力起着十分重要的作用. 知识点1：二面角 （1）二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面． （2）符号语言： ①二面角. ②在,内分别取两点，(,),可记作二面角; ③当棱记作时，可记作二面角或者二面角. 【即学即练1】（2024上·上海·高二上海交大附中校考期末）在正方体中，二面角平面角的正切值为 . 【答案】 【详解】如图 取的中点，连接 在正方体中，可知 所以， 所以二面角的平面角为 设，所以 所以 故答案为： 知识点2：二面角的平面角 （1）定义：在二面角的棱上任取一点,以点为垂足,在半平面和内分别作垂直与直线的射线,,则射线和构成的叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角. （2）说明： ①二面角的大小可以用它的平面角的大小来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度； ②二面角的大小与垂足在上的位置无关一个二面角的平面角有无数个，它们的大小是相等的； ③构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”.即二面角的平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直，这三个条件缺一不可，前两个要素决定了二面角的平面角大小的唯一性，后一个要素表明平面角所在的平面与棱垂直； ④二面角的平面角的范围是，当两个半平面重合时，；当两个半平面合成一个平面时， ⑤当两个半平面垂直时，，此时的二面角称为直二面角. 知识点3：二面角的平面角求法 （1）定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点（一般取特殊点），过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法，要注意用二面角的平面角定义的三要素来找出平面角. （2）三垂线定理及其逆定理 ①定理：平面内的一条直线如果和经过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. ②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线的射影与二面角的棱垂直，推得它在二面角的另一面上的射影也与二面角的棱垂直.从而确定二面角的平面角. (3)找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角. (4)转化法：化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角（或其补角）. (5)向量法：用空间向量求平面间夹角的方法（该方法我们将在选择性必修第一册中学到). 知识点4：求二面角的平面角步骤 (1)找到或作出二面角的平面角； (2)证明(1)中的角就是所求的角； (3)计算出此角的大小 以上步骤可概括为“一作、二证、三计算” 知识点5：平面与平面垂直 （1）定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直. （2）符号语言: （3）图形语言 知识点4：平面与平面垂直的判定定理 （1）定理： ... ...
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