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课件网) 向量的数量积 (基本概念课———逐点理清式教学) 5.1.1 课时目标 1.通过物理中功等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积.了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义. 2.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一) 向量的数量积 逐点清(二) 投影向量与投影数量 逐点清(三) 数量积的运算性质 4 课时跟踪检测 逐点清(一) 向量的数量积 01 1.定义 已知两个非零向量a和b,作=a,=b,向量a与b的夹角∠AOB记为
或θ(0°≤θ≤180°). 称为a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cos= . 2.规定 规定零向量与任一向量的数量积为 . |a||b|cos θ |a||b|cos θ 0 多维理解 3.数量积与夹角的关系 当0°≤<90°时,a·b>0;当=90°时,a·b=0; 当90°<≤180°时,a·b<0;当=0°时,a·b=|a||b|; 当=180°时,a·b=-|a||b|. |微|点|助|解| (1)向量的数量积a·b,不能表示为a×b或a b. (2)两个向量的数量积的结果是一个实数,而不是向量;向量的数乘的结果是一个向量,其长度是原向量长度的倍数. (3)两个向量的数量积所得的数值为两个向量的模与两个向量的夹角θ的余弦的乘积,由于|a|,|b|均为正数,故其符号由夹角来决定. 1.已知|a|=,|b|=2,a与b的夹角是120°,则a·b等于( ) A.3 B.-3 C.-3 D.3 解析:由平面向量数量积的定义可得 a·b=|a||b|cos 120°=×2×=-3. √ 微点练明 2.在等腰△ABC中,∠C=120°,AC=4,则·=( ) A.8 B.-12 C.16 D.-24 解析:由条件可知AC=CB=4,·=-·=-||||cos 120°= -4×4×=8. √ 3.若a与b满足|a|=|b|=1,=60°,则a·a+a·b等于 ( ) A. C.1+ D.2 解析:由题意得a·a+a·b=|a|2+|a||b|·cos 60°=1+=,故选B. √ 4.已知等边三角形ABC的边长为1,设=a,=b,=c,那么a·b+b·c+c·a=( ) A.3 B.-3 C. D.- 解析:在等边三角形ABC中,有a·b+b·c+c·a=1×1×cos 120°+ 1×1×cos 120°+1×1×cos 120°=-.故选D. √ 5.如图,已知A,B是圆C上两点,若||=4,则·=( ) A.2 B.4 C.6 D.8 解析:在圆C中,取AB的中点D,连接CD, 如图,则有CD⊥AB,而||=4,所以=||||cos∠CAD= ||||=||2=8.故选D. √ 逐点清(二) 投影向量与投影数量 02 1.投影向量与投影数量 如图,已知两个非零向量a和b,作=a,=b,过点A向直线OB作垂线,垂足为A',得到向量γ=,γ称为a在b上的 . |a|cos称为投影向量γ的数量,也称 为向量a在向量b方向上的 , 可以表示为 . 投影向量 投影数量 多维理解 2.数量积的几何意义 b的长度|b|与a在b方向上的投影数量 的乘积(如图);或a的长度|a|与b在a方向上的投影数量 的乘积. |a|cos θ |b|cos θ |微|点|助|解| (1)a·b等于|a|与b在a方向上的投影数量的乘积,也等于|b|与a在b方向上的投影数量的乘积.其中a在b方向上的投影数量与b在a方向上的投影数量是不同的. (2)b在a方向上的投影数量为|b|·cos θ(θ是a与b的夹角),也可以成 . (3)投影数量是一个数量,其值可为正,可为负,也可为零,而投影向量是向量. (4)在确定两向量的夹角时,一定要注意“共始点”. 1.已知|a|=1,|b|=2,其中a,b的夹角为,则a在b上的投影数量为( ) A.1 B. C. 解析:由题意,a在b上的投影数量为|a|cos=1×=. √ 微点练明 2.已知向量e是与向量b方向相同的单位向量,且|b|=2,若a在b方向上的投影向量为2e,则a·b= ( ) A.2 B.-2 C.4 D.-4 解析:a·b=|b|·|a|cos=|b|·|2e|=2×2=4.故选C. √ 3.已知O为正三角形ABC的中心,则向量在向量上的投影向量为( ) A.- C.- 解析:取AB中点D,连接OD,因为O为正三角形ABC 的中心,所以OD⊥AB,则向量在向量上的 投影向量为=-,故选C. √ 4.已知△ABC的外接圆圆心 ... ... 