1 同角三角函数的基本关系 (教学方式:深化学习课———梯度进阶式教学) [课时目标] 1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.理解同角三角函数的基本关系式. 2.能利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明. 同角三角函数的基本关系 平方关系 sin2α+cos2α= 商数关系 tan α= |微|点|助|解| (1)注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的.如sin2α+cos2α=1对一切α∈R恒成立,而tan α=仅对α≠kπ+(k∈Z)成立. (2)变形形式 ①1=sin2α+cos2α; ②sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α; ③sin α=±,cos α=±; ④sin α=cos αtan α; ⑤(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α. 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)对任意角α,sin2+cos2=1都成立. ( ) (2)当sin α=时,cos α=. ( ) (3)由于平方关系对任意角都成立,故sin2α+cos2β=1也成立. ( ) (4)当α≠kπ+,k∈Z时,cos2α=. ( ) 2.化简 = ( ) A.cos B.-cos C.sin D.-sin 3.已知3sin α+cos α=0,则tan α= . 4.已知cos α-sin α=-,则sin αcos α的值为 . 题型(一) 利用同角三角函数的基本关系求值 [例1] (1)已知sin α=,α∈,则tan α= ( ) A. B.- C. D.- (2)(2023·全国乙卷)若θ∈,tan θ=,则sin θ-cos θ= . 听课记录: |思|维|建|模| 利用同角三角函数的基本关系求值的策略 (1)已知三角函数值及角的终边所在象限:可直接利用同角三角函数的基本关系求值. (2)已知三角函数值,而角的终边所在象限未知:需要对角的终边所在的象限进行分类讨论,再求值. (3)所给三角函数值含字母,且角的终边所在的象限未知:需要对字母取值的符号进行讨论,进而确定角的终边可能在的象限,再讨论求值. [针对训练] 1.已知x∈,tan x=-,则cos等于 ( ) A. B.- C.- 2.设cos(-80°)=k,那么tan 100°等于 ( ) A. B.- C. D.- 题型(二) 齐次式的求值问题 [例2] 已知tan α=2. (1)求的值; (2)求2sin2α-sin αcos α+cos2α的值. 听课记录: |思|维|建|模| 已知tan α的值,求关于sin α,cos α齐次式的值的方法 (1)对只含有sin α,cos α的齐次式,可根据同角三角函数的商数关系,通过除以某一齐次项,转化为只含有正切的式子,即化弦为切,整体代入. (2)对于形如或的分式,分子、分母同时除以cos α,cos2α,将正、余弦转化为正切,从而求值. (3)对于形如asin2α+bsin αcos α+ccos2α的式子,将其看成分母为1的分式,再将分母1变形为sin2α+cos2α,转化为形如的式子求值. [针对训练] 3.已知tan θ=2,则sin θsin= ( ) A. C.- D.- 4.已知方程sin2α+2sin αcos α-2sin α-4cos α=0,则cos2α-sin αcos α= ( ) A.- C.- 题型(三) 利用sin α±cos α与sin αcos α之间的关系求值 [例3] 已知sin α+cos α=(0<α<π),求sin αcos α和sin α-cos α的值. 听课记录: |思|维|建|模| “sin α±cos α,sin α·cos α”的应用策略 (1)sin α±cos α与sin α·cos α通过平方关系联系到一起,即(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α,sin αcos α=,sin αcos α=. (2)sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α三个式子中,已知其中一个,可以求其他两个,即“知一求二”.利用此关系求sin α+cos α或sin α-cos α的值时,要注意判断它们的符号. [针对训练] 5.若sin αcos α=,且<α<,则cos α-sin α的值为 ( ) A. B.- C. D.- 6.已知sin α+cos α=,α∈(0,π),则tan α= . 题型(四) 利用同角三角函数关系化简、证明 [例4] 化简:(1); (2)· (其中α是第三象限角). 听课记录: |思|维|建|模| 1.三角函数式化简的常用方法 (1)化切为弦,即把正切函数都化为正、 ... ...
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