2.2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用(教学方式:深化学习课———梯度进阶式教学) [课时目标] 1.能从两角和与差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、正切公式. 2.能够运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式解决求值、化简等问题. 1.两角和与差的正弦公式 名称 简记符号 公式 两角和 的正弦 Sα+β sin(α+β)= 两角差 的正弦 Sα-β sin(α-β)= |微|点|助|解| 1.两角和与差的正弦公式的结构特征 (1)公式中的角α,β都是任意角. (2)一般情况下,两角和与差的正弦不能按分配律展开,即sin(α±β)≠sin α±sin β. 2.注意公式的逆向运用和变形运用 (1)公式的逆用:如sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=sin[(α+β)-β]=sin α. (2)公式的变形运用:变形运用涉及两个方面,一个是公式本身的变形运用,如sin(α-β)+cos αsin β=sin αcos β;一个是角的变形运用,也称为角的拆分变换,如α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β)等,这些在某种意义上来说是一种整体思想的体现. 2.两角和与差的正切公式 名称 简记 符号 公式 使用条件 两角和 的正切 Tα+β tan(α+β)= α,β,α+β≠kπ+(k∈Z)且tan αtan β≠1 两角差 的正切 Tα-β tan(α-β)= α,β,α-β≠kπ+(k∈Z)且tan αtan β≠-1 |微|点|助|解| 公式Tα±β的结构特征和符号规律 (1)使用条件:在两角和与差的正切公式中,角α,β,α+β,α-β均不等于kπ+(k∈Z),这是由正切函数的定义域决定的. (2)结构特征:公式Tα±β的右侧为分式形式,其中分子为tan α 与tan β的和或差,分母为1与tan αtan β的差或和. (3)符号规律:分子同,分母反. 3.常用结论 (1)变形公式 tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β); tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β); tan αtan β=1-. (2)公式的特例 tan=;tan=. 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两角和与差的正弦公式中,角α,β是任意的. ( ) (2)sin(α+β)=sin α+sin β一定不成立. ( ) (3)sin 54°cos 24°-sin 36°cos 66°=. ( ) 2.若tan α=3,tan β=,则tan(α-β)= ( ) A. B.- C.3 D.-3 3.sin(30°+45°)= . 题型(一) 给角求值 [例1] 求下列各式的值: (1)cos 105°+sin 195°; (2)sin 14°cos 16°+sin 76°cos 74°; (3)sin-cos; (4); (5)tan 15°+tan 30°+tan 15°tan 30°. 听课记录: |思|维|建|模| 1.解决给角求值问题的策略 (1)注意分析式子的结构特点,合理选择正、余弦的和差角公式. (2)注意公式逆用过程中诱导公式的应用. (3)注意非特殊角与特殊角间的联系及将特殊值转化为特殊角三角函数. (4)注意对角的变形,即合理拆角或凑角. 2.公式的逆用和特殊角三角函数的逆用 当式子中出现,1,,这些特殊角的三角函数值时,往往就是“由值变角”的一种提示,可以根据问题的需要,将常数用三角函数式表示出来,以构成适合公式的形式,从而达到化简的目的. [针对训练] 1.求下列各式的值: (1)sin 795°; (2); (3)tan 10°+tan 50°+tan 10°tan 50°. 题型(二) 条件求值 [例2] (1)(2024·全国甲卷)已知=,则tan= ( ) A.2+1 B.2-1 C. D.1- (2)已知α∈,β∈,且cos(α-β)=,sin β=-,求α. 听课记录: |思|维|建|模| 条件求值、角问题的求解思路 (1)根据已知角与未知角之间的联系,运用拆角和凑角技巧、诱导公式、同角三角函数的基本关系式、两角和与差的三角函数公式进行变形,化未知为已知,从而达到求解的目的. (2)当角之间符合规律+=+(α+β),+=+(α-β)时,要配合使用诱导公式. (3)在给值求值、角的问题中要注意隐含条件,尤其是角的取值范围. (4)可以通过对条件等式的运算,得到cos αcos β,sin αsin β,sin αcos β,cos αsin β,tan α± ... ...
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