11.3　余弦定理、正弦定理的应用（课件 学案 练习）高中数学苏教版（2019）必修 第二册

11.3 余弦定理、正弦定理的应用 (教学方式:拓展融通课———习题讲评式教学) [课时目标] 1.认识实际测量中的有关名称和术语,理解方位角、方向角、俯角、仰角的含义. 2.会用余弦定理、正弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量等问题. 题型(一)　测量距离问题 [例1]　如图,A,B两点都在河的对岸(不可到达),若在河岸选取相距20 m的C,D两点,测得∠BCA=60°, ∠ACD=30°,∠CDB=45°,∠BDA =60°,那么此时A,B两点间的距离是多少 听课记录: 　　|思|维|建|模| 三角形中与距离有关问题的求解策略 (1)解决三角形中与距离有关的问题,若在一个三角形中,则直接利用正、余弦定理求解即可;若所求的线段在多个三角形中,要根据条件选择适当的三角形,再利用正、余弦定理求解. (2)解决三角形中与距离有关问题的关键是转化为求三角形中的边,分析所解三角形中已知哪些元素,还需要求出哪些元素,灵活应用正、余弦定理来解决. 　　[针对训练] 1.如图,从无人机A上测得正前方的峡谷的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,若无人机的高度AD是15(+1),则此时峡谷的宽度BC是 (　　) A.60 B.60(+1) C.30 D.30(+1) 题型(二)　测量高度问题 [例2]　如图,A,B是水平面上的两个点,相距800 m,在A点测得山顶C的仰角为45°,∠BAD=120°,又在B点测得∠ABD=45°,其中D点是C点到水平面的垂足,求山高CD. 听课记录: 　　|思|维|建|模| 测量高度问题的解题策略 (1)“空间”向“平面”的转化:测量高度问题往往是空间中的问题,因此先要选好所求线段所在的平面,将空间问题转化为平面问题. (2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合,全面分析所有三角形,仔细规划解题思路. 　　[针对训练] 2.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度,如图,在C处进行该仪器的弹射,观测点A,B两地相距100 m,∠BAC=60°,在A地听到弹射声音的时间比B地晚 s.A地测得该仪器在C处时的俯角为15°,A地测得该仪器在最高点H时的仰角为30°,求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音在空气中的传播速度为340 m/s) 题型(三)　测量角度问题 [例3]　某公司想投资建设一个深水港码头,如图,工程师为了了解深水港码头海域海底的构造,在海平面内一条直线上的A,B,C三点进行测量.已知AB=60 m,BC=120 m,于A处测得水深AD=120 m,于B处测得水深BE=200 m,于C处测得水深CF=150 m,则cos∠DEF=　　　　. 听课记录: 　　|思|维|建|模| (1)测量角度与追及问题主要是指在海上、空中或陆地进行测量或计算角度,确定目标的方位,观察某一物体的视角等问题. (2)解决这类问题的关键是根据题意和图形以及相关概念,确定所求的角或距离在哪个三角形中,该三角形中已知哪些量,需要求哪些量. 　　[针对训练] 3.甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处,两船相距a n mile,乙船向正北方向行驶.若甲船的速度是乙船速度的倍,问甲船应沿什么方向前进才能最快追上乙船 相遇时乙船行驶了多少n mile 11.3　余弦定理、正弦定理的应用 [例1]　 解:由正弦定理得 AC= ===10(1+)(m), BC= ==20(m). 在△ABC中,由余弦定理得 AB= =10(m). ∴A,B两点间的距离为10 m. [针对训练] 1.选A　由已知得∠ACB=30°,∠ABD=75°,∴CD==15(3+),BD==15(-1),∴BC=CD-BD=60.故选A. [例2]　 解:由于CD⊥平面ABD, ∠CAD=45°,所以CD=AD. 在△ABD中,∠BDA=180°-45°-120°=15°, 由=, 得AD===800(+1)(m). 即山的高度为800(+1)m. [针对训练] 2.解:设AC=x m, 则BC=x-×340=(x-40)m. 在△ABC中,根据余弦定理得(x-40)2 =10 000+x2-100x, 解得x=420. 在△ACH中,AC=420 m, ∠CAH=30°+15°=45°, ∠AHC=90°-30°=60°. 由=, 得CH=AC·=140(m). 故该仪器的垂直弹射高度CH为140 m. [例3]　解析:如图所示,作DM∥AC交BE于N,交CF于M,作FH∥AC交BE于H. 由题 ... ...