14.4.2 用样本估计总体的离散程度参数 (教学方式:深化学习课———梯度进阶式教学) [课时目标] 1.结合实例,能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差). 2.掌握求分层抽样总样本的平均数及方差的方法,理解离散程度参数的统计含义. 1.极差 我们把一组数据的 的差称为极差. 2.方差 (1)方差的定义 一般地,设一组样本数据x1,x2,…,xn,其平均数为,则称s2= 为这个样本的方差,简称样本方差. (2)方差的计算 ①s2=(xi-)2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]. ②一般地,若取值为x1,x2,…,xn的频率分别为p1,p2,…,pn,则其方差为p1(x1-)2+p2(x2-)2+…+pn(xn-)2. ③一般地,如果总体分为k层,第j层抽取的样本为xj1,xj2,…,,第j层的样本量为nj,样本平均数为,样本方差为,j=1,2,…,k.记nj=n,那么,所有数据的样本方差为= (xjt-)2=nj[+(-)2]. (3)方差的性质 设数据x1,x2,…,xn的平均数为 ,方差为s2,则 ①s2= (-n); ②数据x1+a,x2+a,…,xn+a的方差也为s2; ③数据ax1,ax2,…,axn的方差为a2s2; ④数据ax1+b,ax2+b,…,axn+b的方差为a2s2. 3.标准差 方差的算术平方根s= 为样本的标准差,简称样本标准差. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)若一组数据的值大小相等,没有波动变化,则标准差为0. ( ) (2)标准差越大,表明各个样本数据在样本平均数周围越集中;标准差越小,表明各个样本数据在样本平均数周围越分散. ( ) (3)在实际问题中要做出有效决策时,主要参照样本数据的平均数和标准差或方差. ( ) 2.下列选项中,能反映一组数据的离散程度的是 ( ) A.平均数 B.中位数 C.方差 D.众数 3.已知一个样本中的数据为1,2,3,4,5,则该样本的标准差为 ( ) A.1 B. C. D.2 4.在一次歌手大奖赛上,七位评委为歌手打出的分数如下:9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为 ( ) A.9.4,0.484 B.9.4,0.016 C.9.5,0.04 D.9.5,0.016 题型(一) 标准差、方差、极差的计算 [例1] 某班20位女同学平均分为甲、乙两组,她们的劳动技术课考试成绩如下(单位:分): 甲组:60,90,85,75,65,70,80,90,95,80; 乙组:85,95,75,70,85,80,85,65,90,85. 试分别计算两组数据的极差、方差和标准差. 听课记录: |思|维|建|模| 计算标准差的5步骤 (1)求出样本数据的平均数. (2)求出每个样本数据与样本平均数的差xi-(i=1,2,…,n). (3)求出xi-(i=1,2,…,n)的平方值. (4)求出上一步中n个平方值的平均数,即为样本方差. (5)求出上一步中平均数的算术平方根,即为样本标准差. [针对训练] 1.从甲、乙两种玉米苗中各抽取10株,分别测得它们的株高(单位:cm)如下: 甲:25,41,40,37,22,14,19,39,21,42; 乙:27,16,44,27,44,16,40,40,16,40. 求:(1)哪种玉米苗长得高 (2)哪种玉米苗长得齐 题型(二) 分层抽样的方差 [例2] 甲、乙两支田径队体检结果:甲队的体重的平均数为60 kg,方差为200,乙队体重的平均数为70 kg,方差为300.又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4,那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是什么 听课记录: |思|维|建|模| 计算分层抽样的方差s2的步骤 (1)确定,,,; (2)确定; (3)应用公式s2=[+(-)2]+[+(-)2],计算s2. [针对训练] 2.在了解全校学生每年平均阅读了多少本文学经典名著时,甲同学抽取了一个容量为10的样本,并算得样本的平均数为5,方差为9;乙同学抽取了一个容量为8的样本,并算得样本的平均数为6,方差为16.若将甲、乙两同学抽取的样本合在一起,组成一个容量为18的样本,求合在一起后的样本平均数与方差.(结果精确到0.1) 题型(三) 数据的数字特征的综合应用 [例3] 甲、乙两人参加某体育项目训练,近期的五次测试成绩得分情况如图所示. (1) ... ...
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