第2课时 空间向量数量积的坐标表示 (强基课———梯度进阶式教学) 课时目标 1.掌握空间向量数量积的坐标运算. 2.会根据空间向量数量积的坐标运算解决向量垂直、夹角和距离问题. 1.空间向量数量积运算的坐标表示及应用 设空间两个非零向量为a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则 名称 满足条件 向量表示形式 坐标表示形式 a·b |a||b|cos
a⊥b a·b=0 模 |a|= 夹角余弦 cos= 2.空间两点间的距离及中点坐标 在空间直角坐标系中,设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则 (1)AB=||= . (2)线段AB的中点M的坐标为 . [基点训练] 1.若a=(1,-2,1),b=(-1,-3,2),则(a+b)·(a-b)= ( ) A.10 B.8 C.-10 D.-8 2.已知a=(2,-1,3),b=(-4,y,2),且a⊥(a+b),则y的值为 ( ) A.6 B.10 C.12 D.14 3.已知向量a=(-1,0,-1),b=(1,2,-1),则向量a与b的夹角为 . 题型(一) 坐标法求空间向量的数量积 [例1] 如图,在边长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是A1D1,DD1,CD的中点,以A为坐标原点,的方向为x轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系. (1)写出B1,C1,E,F,G五点的坐标; (2)求·(+). 听课记录: [思维建模] 求空间向量数量积的两种方法 基向量法 首先选取基向量,然后用基向量表示相关的向量,最后利用数量积的定义计算.注意:基向量的选取要合理,一般选模和夹角都确定的向量 坐标法 对于建系比较方便的题目,采用此法较简单,只需建系后找出相关点的坐标,进而得向量的坐标,然后利用数量积的坐标公式计算即可 [针对训练] 1.已知空间向量m=(1,2,3),空间向量n满足m∥n且m·n=7,则n= ( ) A. B. C. D. 2.设O为坐标原点,向量=(1,2,3),=(2,1,2),=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则·的最小值为 ( ) A. B.- C. D.- 题型(二) 空间向量数量积的坐标运算解决垂直问题 [例2] 如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,CE⊥AC,EF∥AC,AB=,CE=EF=1.求证:CF⊥平面BDE. 听课记录: [思维建模] 判断空间向量垂直的步骤 (1)向量化:将空间中的垂直关系转化为向量的垂直关系. (2)向量关系代数化:写出向量的坐标. (3)对于a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),根据x1x2+y1y2+z1z2是否为0判断两向量是否垂直. [针对训练] 3.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,其中AD∥BC,AB⊥AD,AB=AD=BC=2, PA=4,E为棱BC上的点,且BE=BC.求证:DE⊥平面PAC. 题型(三) 空间向量坐标法解决夹角、模问题 [例3] 如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为BC1的中点,E1,F1分别在棱A1B1,C1D1上,且B1E1=A1B1,D1F1=C1D1. (1)求AM的长; (2)求BE1与DF1夹角的余弦值. 听课记录: [思维建模] 1.利用向量坐标求异面直线所成角的步骤 (1)根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系; (2)利用已知条件写出有关点的坐标,进而获得相关向量的坐标; (3)利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹角,并将它转化为异面直线所成的角. 2.利用向量坐标求空间中线段的长度的步骤 (1)建立适当的空间直角坐标系; (2)求出线段端点的坐标; (3)利用两点间的距离公式求出线段的长. [针对训练] 4.已知空间三点,A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5). (1)求以AB,AC为边的平行四边形的面积; (2)若||=,且∠DAB=∠DAC=60°,点P是BC的中点,求||的值. 第2课时 空间向量数量积的坐标表示 课前环节 1.x1x2+y1y2+z1z2 x1x2+y1y2+z1z2=0 2.(1) (2) [基点训练] 1.选D 因为a=(1,-2,1),b=(-1,-3,2),所以a+b=(0,-5,3),a-b=(2,1,-1),则(a+b)·(a-b)=-5-3=-8. 2.选C 因为a⊥(a+b),所以a·(a+b)=(2,-1,3)·(2-4,-1+y,3+2)=-4+1-y+15=0,解得y=12. 3.解析:因为 ... ... 