(课件网) 培优课 函数零点的综合问题 目录 典型例题·精研析 01 知能演练·扣课标 02 典型例题·精研析 01 课堂互动 关键能力提升 题型一 根据零点情况求参数值（范围） 【例1】 （1）若函数 f （ x ）＝ln x － ＋ a 在区间（1，e）上存在零 点，则实数 a 的取值范围为 ； （ －1，1） 解析： 因为 y ＝ln x ， y ＝－ 在（1，e）上单调递增，则 函数 f （ x ）＝ln x － ＋ a 在区间（1，e）上单调递增，且函数 图象连续不间断，故若 f （ x ）在区间（1，e）上存在零点，则 解得 －1＜ a ＜1. （2）若函数 f （ x ）＝｜2 x －2｜－ b 有两个零点，则实数 b 的取值范 围为 . 解析： 由 f （ x ）＝｜2 x －2｜－ b ＝ 0，得｜2 x －2｜＝ b .在同一平面直角坐标 系中分别画出 y ＝｜2 x －2｜与 y ＝ b 的图 象，如图所示.则当0＜ b ＜2时，两函数图 象有两个交点，从而函数 f （ x ）＝｜2 x － 2｜－ b 有两个零点. （0，2） 通性通法 已知函数有零点（方程有根）求参数值（范围）的方法 （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参 数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以 解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同 一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，利用数形结合的方 法求解. 【跟踪训练】 1. 若函数 f （ x ）＝ x3＋ ax2＋ bx ＋ c 有三个零点0，1， x0，且 x0∈ （1，2），则 a 的取值范围是（ ） A. （－2，0） B. （1，2） C. （2，3） D. （－3，－2） 解析： 因为函数 f （ x ）＝ x3＋ ax2＋ bx ＋ c 有三个零点0，1， x0，所以解得所以 f （ x ）＝ x3＋ ax2＋（－1－ a ） x ＝ x （ x －1）（ x ＋ a ＋1），所以 x0＝－1－ a ，又 x0∈（1，2），所以1＜－1－ a ＜2，解得－3＜ a ＜－2. 2. 已知函数 f （ x ）＝3 x ＋ x －5的零点 x0∈[ a ， b ]，且 b － a ＝1， a ， b ∈N*，则 a ＝ ， b ＝ . 解析：∵函数 f （ x ）＝3 x ＋ x －5，∴ f （1）＝31＋1－5＝－1＜ 0， f （2）＝32＋2－5＝6＞0，∴ f （1） f （2）＜0，且函数 f （ x ）在R上是增函数，∴ f （ x ）的零点 x0在区间[1，2]内.∴ a ＝ 1， b ＝2. 1 2 题型二 一元二次方程根的分布问题 【例2】 已知关于 x 的方程 x2＋2（ m －1） x ＋2 m ＋6＝0. （1）若方程有两个实根α，β，且满足0＜α＜1＜β＜4，求实数 m 的取值范围； （1） f （ x ）的大致图象如图（ⅰ）所示， ∴ 解得－ ＜ m ＜－ ，∴实数 m 的取值范围为（－ ，－ ）. 解：设 f （ x ）＝ x2＋2（ m －1） x ＋2 m ＋6， （2）若方程至少有一个正根，求实数 m 的取值范围. 解：方程至少有一个正根，则有三种可能的情况， ①有两个正根，此时如图（ⅱ），可得 即∴－3＜ m ≤－1. ②有一个正根，一个负根，此时如图（ⅲ），可得 f （0）＜0， 得 m ＜－3. ③有一个正根，另一根为0，此时如图（ⅳ），可得 ∴ m ＝－3. 综上所述，当方程至少有一个正根时，实数 m 的取值范围为 （－∞，－1]. 通性通法 一元二次方程根的分布问题可转化为二次函数的图象与 x 轴交点 的情况，先将函数草图上下平移，确定根的个数，用判别式限制，再 左右平移，确定对称轴有无超过区间，或是根据根的正负情况，用根 与系数的关系进行限制. 【跟踪训练】 1. 已知关于 x 的方程 x2－2 x ＋ m ＝0的两根同号，则 m 的取值范围是 （ ） A. m ≤1 B. m ≤0 C. 0＜ m ≤1 D. 0≤ m ≤1 解析： 关于 x 的方程 x2－2 x ＋ m ＝0的两根同号，则判别式大于 等于0且两根之积大于零，则有解得0＜ m ≤1， 故选C. 2. 方程8 x2－（ ... ...
