三角形解的个数判断 1.已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定. 2.已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定.那么怎样判断解的个数呢？ 具体方法如下： （1）代数法：三角形解的个数可由三角形中“大边对大角”来判定.不妨设A为锐角，若a≥b，则A≥B，从而B为锐角，有一解.若a＜b，则A＜B，由正弦定理得sin B＝，①sin B＞1，即a＜bsin A，无解；②sin B＝1，即a＝bsin A，一解；③sin B＜1，即bsin A＜a＜b，两解. （2）几何法：在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，见下表： 分类 图形 关系式 解的个数 A为 锐角 a＜bsin A 无解 a＝bsin A 一解 bsin A＜ a＜b 两解 a≥b 一解 A为 钝角 或直角 a＞b 一解 a≤b 无解 【例】 不解三角形，判断下列三角形解的个数（△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c）： （1）a＝5，b＝4，A＝120°； （2）a＝9，b＝10，A＝60°； （3）b＝72，c＝50，C＝135°. 方法总结 1.在△ABC中，0＜sin B≤1，故≥1.∵＝，∴a＝，∴a≥bsin A.这是已知a，b，A解三角形时，判断三角形解的个数（1或2）的前提. 2.解三角形时，可以先求出sin B的值并与1进行比较，再结合已知条件判断三角形解的个数. 【迁移应用】 1.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ） A.a＝30，b＝50，A＝36° B.a＝50，b＝30，A＝36° C.a＝30，b＝60，A＝30° D.a＝30，B＝20°，A＝136° 2.在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两个解，则x的取值范围是（ ） A.x＞2 B.x＜2 C.2＜x＜2 D.2＜x＜2 3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝4，c＝2，C＝30°，那么此三角形（ ） A.有一解 B.有两解 C.无解 D.解的个数不确定 拓视野 三角形解的个数判断 【例】 解：（1）sin B＝sin 120°＝×＜，所以三角形有一解. （2）sin B＝sin 60°＝×＝，而＜＜1. 所以当B为锐角时，满足sin B＝的角B的取值范围是60°＜B＜90°.满足A＋B＜180°； 当B为钝角时，满足sin B＝的角B的取值范围是90°＜B＜120°，也满足A＋B＜180°.故三角形有两解. （3）sin B＝＝sin C＞sin C＝. 所以B＞45°，所以B＋C＞180°，故三角形无解. 迁移应用 1.A A选项，bsin A＝50sin 36°＜a，又a＜b，所以三角形有两个解；B选项，bsin A＝30sin 36°＜a，又a＞b，所以三角形有一个解；C选项，bsin A＝60sin 30°＝30＝a，所以三角形有一个解；D选项，可得C＝24°，所以三角形有一个解，故选A. 2.C 由题意知a＞b，则x＞2，又由sin A＝＝＜1，可得x＜2，∴x的取值范围是2＜x＜2.故选C. 3.C 法一 由正弦定理和已知条件，得＝，∴sin B＝.∵＞1，∴此三角形无解. 法二 ∵c＝2，bsin C＝2，∴c＜bsin C，故此三角形无解. 法三 作∠ACD＝30°，AC＝b＝4，以A为圆心，AB＝c＝2为半径画圆（图略），该圆与CD无交点，则此三角形无解. 2 / 2(
课件网) 拓 视 野 三角形解的个数判断 1. 已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解， 三角形被唯一确定. 2. 已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能 出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定.那么怎样 判断解的个数呢？ 具体方法如下： （1）代数法：三角形解的个数可由三角形中“大边对大角”来判 定.不妨设A为锐角，若a≥b，则A≥B，从而B为锐角，有 一解.若a＜b，则A＜B，由正弦定理得 sin B ... ...
