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课件网) 一般地,函数y=xα为幂函数,其中α为常数. 4.4 幂函数 知识点 1 幂函数的概念 知识 清单破 1.常见幂函数的性质 知识点 2 常见幂函数的性质与图象 幂函数 y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1 定义域 R R R [0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞) 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞) 单调性 增函数 在[0,+∞)上单调递增, 在(-∞,0)上单调递减 增函数 增函数 在(0,+∞)上单调递减, 在(-∞,0)上单调递减 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 公共点 图象都经过点(1,1) 2.在同一平面直角坐标系内作出函数y=x,y=x2,y=x3,y= ,y=x-1的图象,如图所示. 1.所有的幂函数在区间(0,+∞)上都有定义,因此在第一象限内都有图象,并且图象都经过 点(1,1). 2.若α>0,则幂函数y=xα的图象经过原点,并且在区间[0,+∞)上是增函数. 3.若α<0,则幂函数y=xα在区间(0,+∞)上是减函数,且在第一象限内:当x从右边趋向于原点时, 图象在y轴右方且无限地逼近y轴;当x无限增大时,图象在x轴上方且无限地逼近x轴. 知识点 3 幂函数的共同特征 知识辨析 判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”. 1.y=- 是幂函数. ( ) 2.幂函数的图象都过点(0,0),(1,1).( ) 3.幂函数的图象一定不会出现在第四象限,但可能出现在第二象限. ( ) 4.当α=0时,幂函数y=xα的图象是一条直线.( ) 5.当α=-1时,幂函数y=xα在定义域上是减函数. ( ) √ 讲解分析 1.根据幂函数在第一象限内的图象可以确定幂指数α与0,1的大小关系. 2.依据图象高低可以判断幂指数的大小,相关结论如下: (1)在x∈(0,1)上,幂指数越大,幂函数的图象越靠近x轴(简记为“指大图低”); (2)在x∈(1,+∞)上,幂指数越大,幂函数的图象越远离x轴(简记为“指大图高”). 疑难 情境破 疑难 1 幂函数图象的应用 典例 若点( ,2)在幂函数f(x)的图象上,点 在幂函数g(x)的图象上,则当x为何值时, (1)f(x)>g(x) (2)f(x)=g(x) (3)f(x)
1或x<-1时, f(x)>g(x). (2)当x=1或x=-1时, f(x)=g(x). (3)当-13x2+(k-1)x在[1,3]上恒成立,求实数k的取值范围. 解析 (1)∵f(x)为幂函数, ∴m2-2m-2=1, 解得m=-1或m=3. 当m=-1时,f(x)=x-1,其在(0,+∞)上单调递减,不符合题意; 当m=3时,f(x)=x3,其在(0,+∞)上单调递增,符合题意. 故f(x)=x3. (2)由(1)得x3>3x2+(k-1)x在[1,3]上恒成立, ∴k-1< =x2-3x在[1,3]上恒成立, 当x∈[1,3]时,(x2-3x)min= -3× =- , ∴k-1<- ,解得k<- , 故实数k的取值范围为 .4.4 幂函数 基础过关练 题组一 幂函数的概念 1.已知函数①y=,其中为幂函数的是( ) A.①②④⑤ B.③④⑥ C.①②⑥ D.①②④⑤⑥ 2.已知幂函数f(x)=(k2+k-1)xα的图象过点,则k-α= ( ) A.或- C.-或- 题组二 幂函数的图象及其应用 3.已知幂函数y=xα在第一象限内的图象如图所示,α分别取-1,1,,2四个值,则与曲线C1,C2,C3,C4相对应的α依次为( ) A.2,1,,-1 B.2,-1,1, C.,1,2,-1 D.-1,1,2, 4.(多选题)已知幂函数f(x)的图象经 ... ... 