(
课件网) 简谐运动可以用函数y=Asin(ωx+φ),x∈[0,+∞)表示,其中A>0,ω>0,x表示时间,y表示相对 于平衡位置的偏离. (1)A表示物体运动时离开平衡位置的最大距离,称为振幅; (2)往复运动一次所需的时间T= 称为这个运动的周期; (3)单位时间内往复运动的次数f= = 称为运动的频率; (4)ωx+φ称为相位,x=0时的相位φ称为初相位. 7.4 三角函数应用 知识点 简谐运动的物理量的描述 必备知识 清单破 1.函数y=3sin 的频率、相位、初相位各是什么 2.某实验室一天的温度y(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似地满足函数关系式:y=10- 2sin ,t∈[0,24),则该实验室这一天的温差为多少 3.波浪形曲线y=|cos 4x|的周期是多少 知识辨析 1.频率为 ,相位为 x- ,初相位为- . 2.温差为4 ℃.该实验室这一天的最高温度为12 ℃,最低温度为8 ℃,故温差为4 ℃. 3. . 一语破的 解三角函数应用问题的基本步骤 (1)审清题意:读懂题目中的“文字”“图象”“符号”等语言,理解所反映的实际问题的背 景,提炼出相应的数学问题. (2)建立函数模型:整理数据,引入变量,找出变化规律,运用已掌握的三角函数知识、物理知识 及其他相关知识建立关系式,即建立三角函数模型. (3)求解函数模型:利用所学的三角函数知识解得到的三角函数模型,求得结果. (4)得出结论:将所得结果翻译成实际问题的答案,并检验. 关键能力 定点破 定点 三角函数模型的应用 如图,这是一半径为4.8 m的水轮示意图,水轮圆心O距离水面2.4 m,已知水轮每60 s按逆 时针方向转动一圈,若当水轮上一点P从水中浮出时(图中点P0)开始计算时间,则 ( ) A.点P到水面的距离h(单位:m.在水面下,则h为负数)与时间t(单位:s)之间的函数关系式为h= 4.8sin B.当点P第一次到达最高点时需要10 s C.在水轮转动的一圈内,有10 s的时间,点P到水面的距离不低于4.8 m D.当水轮转动50 s时,点P在水面下方,到水面的距离为2.4 m 典例 D 解析 对于A,设h=Asin(ωt+φ)+B A>0,ω>0,|φ|< ,则hmax=7.2,hmin=-2.4, 所以 解得 因为最小正周期T= =60,又ω>0,所以ω= ,则h=4.8sin +2.4, 当t=0时,h=0, 所以4.8sin φ+2.4=0, 即sin φ=- ,又|φ|< ,所以φ=- , 所以h=4.8sin +2.4,故A错误; 对于B,当点P第一次到达最高点时, t- = ,解得t=20, 即当点P第一次到达最高点时需要20 s,故B错误; 对于C,由h≥4.8,得4.8sin +2.4≥4.8,即sin ≥ ,所以 +2kπ≤ t- ≤ +2 kπ,k∈Z, 所以10+60k≤t≤30+60k,k∈Z,当k=0时,10≤t≤30,即在水轮转动的一圈内,有20 s的时间,点P 到水面的距离不低于4.8 m,故C错误; 当t=50时,h=4.8sin +2.4=4.8sin +2.4=-2.4,故D正确.故选D. 应用三角函数模型解决实际问题时,首先要把实际问题抽象为数学问题,即建立三角函 数模型,然后对建立的三角函数模型进行分析研究,运用三角函数的有关知识进行推理、运 算,使问题得到解决. 学科素养 情境破 素养解读 素养 通过三角函数的应用发展数学建模、数学运算的素养 典例呈现 例题 如图所示,四边形ABCD是一块边长为100 m的正方形地皮,其中AST是半径为90 m的扇 形,此扇形部分是一座小山,其余部分都是平地.开发商想在平地上建一个矩形停车场(图中矩 形PQCR),使矩形的一个顶点P在弧 上,相邻两边CQ,CR分别落在正方形的边BC,CD上,求 矩形停车场PQCR的面积的最大值和最小值. 解题思路 矩形PQCR面积变化的根源是一个顶点P在弧 上运动,此时取合适的角为自变 量,建立矩形PQCR的面积与此角的三角函数模型,利用三角函数知识求最大(小)值. 如图,连接AP,设∠PAB=θ(0°≤θ≤90°),延长RP交AB于M,则AM=90cos θ,MP=90sin θ, ∴PQ=MB=100-90cos θ,PR=100-90sin θ. ∴S矩形PQCR=PQ·PR =(100-90cos θ)(100-90sin θ) =10 000-9 000(sin θ+c ... ...
