第六章 导数及其应用 章末复习与总结（课件 学案）高中数学人教B版（2019）选择性必修 第三册

一、数学运算 数学运算、逻辑推理这两大核心素养在本章中体现较多，主要涉及以下内容：（1）导数的计算；（2）利用导数研究函数的单调性、极值、最值；（3）函数不等式的证明；（4）恒成立（能成立）的转化. 培优一 导数的几何意义 1.利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y－y0＝f'（x0）（x－x0），明确“过点P（x0，y0）的曲线y＝f（x）的切线方程”与“在点P（x0，y0）处的曲线y＝f（x）的切线方程”的异同点. 2.围绕着切点有三个等量关系：切点（x0，y0），则k＝f'（x0），y0＝f（x0），（x0，y0）满足切线方程，在求解参数问题中经常用到. 【例1】　已知函数f（x）＝x3＋x－16. （1）求曲线y＝f（x）在点（2，－6）处的切线方程； （2）直线l为曲线y＝f（x）的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标. 尝试解答 培优二 利用导数研究函数的单调性 　借助导数研究函数的单调性，尤其是研究含有ln x，ex，－x3等初等函数（或复合函数）的单调性，是近几年高考的一个重点.其特点是导数f'（x）的符号一般由二次函数来确定；经常同一元二次方程、一元二次不等式结合，集分类讨论、数形结合于一体. 【例2】　（1）（2023·新高考Ⅱ卷6题）已知函数f（x）＝aex－ln x在区间（1，2）上单调递增，则实数a的最小值为（　　） A.e2　　　　　　　　B.e C.e－1 D.e－2 （2）（多选）（2024·新高考Ⅰ卷10题）设函数f（x）＝（x－1）2（x－4），则（　　） A.x＝3是f（x）的极小值点 B.当0＜x＜1时，f（x）＜f（x2） C.当1＜x＜2时，－4＜f（2x－1）＜0 D.当－1＜x＜0时，f（2－x）＞f（x） 尝试解答 培优三 利用导数研究函数的极值和最值 1.极值和最值是两个迥然不同的概念，前者是函数的“局部”性质，而后者是函数的“整体”性质.另函数有极值未必有最值，反之亦然. 2.判断函数“极值”是否存在时，务必把握以下原则： （1）求定函数f（x）的定义域； （2）求方程f'（x）＝0的根； （3）检验f'（x）＝0的根的两侧f'（x）的符号： 若左正右负，则f（x）在此根处取得极大值； 若左负右正，则f（x）在此根处取得极小值. 导数的零点未必是极值点，这一点是解题时的主要失分点，学习时务必引起注意. 3.求函数f（x）在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤： （1）求f（x）在（a，b）内的极值； （2）将（1）求得的极值与f（a），f（b）相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值. 【例3】　（1）（2022·全国甲卷6题）当x＝1时，函数f（x）＝aln x＋取得最大值－2，则f'（2）＝（　　） A.－1 B.－ C. D.1 （2）（多选）（2023·新高考Ⅱ卷11题）若函数f（x）＝ aln x＋＋（a≠0）既有极大值也有极小值，则（　　） A.bc＞0 B.ab＞0 C.b2＋8ac＞0 D.ac＜0 尝试解答 培优四 利用导数证明不等式 　利用导数解决不等式问题（如：证明不等式、比较大小等），其实质就是利用求导数的方法研究函数的单调性，而证明不等式（或比较大小）常与函数最值问题有关.因此，解决该类问题通常是构造一个函数，然后考查这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解.其实质是这样的： 要证不等式f（x）＞g（x），则构造函数φ（x）＝f（x）－g（x），只需证φ（x）＞0即可，由此转化成求φ（x）最小值问题，借助于导数解决. 【例4】　（2023·新高考Ⅰ卷19题）已知函数f（x）＝a（ex＋a）－x. （1）讨论f（x）的单调性； （2）证明：当a＞0时，f（x）＞2ln a＋. 尝试解答 培优五 利用导数解决恒成立问题 解决恒成立问题的方法： （1）若关于x的不等式f（x）≤m在区间D上恒成立，则转化为f（x）max≤m； （2）若关于x的不等式f（x）≥m在区间D上恒成立，则转化为f（x）min≥m. 【例 ... ...