5.4 培优课　函数性质的综合问题（课件 学案 练习）高中数学苏教版（2019）必修 第一册

培优课　函数性质的综合问题 题型一 函数图象的对称性 【例1】　定义在R上的偶函数y＝f（x），其图象关于点（，0）对称，且x∈[0，1]时，f（x）＝－x＋，则f（）＝（　　） A.－1 B.0 C.1 D. 通性通法 1.函数图象关于直线对称 y＝f（x）在定义域内恒满足的条件 y＝f（x）的图象的对称轴 f（a＋x）＝f（a－x） 直线x＝a f（x）＝f（a－x） 直线x＝ f（a＋x）＝f（b－x） 直线x＝ 2.函数图象关于点对称 y＝f（x）在定义域内恒满足的条件 y＝f（x）的图象的对称中心 f（a－x）＝－f（a＋x） （a，0） f（x）＝－f（a－x） （，0） f（a＋x）＝－f（b－x） （，0） f（a＋x）＋f（b－x）＝c （，） 【跟踪训练】 1.已知函数f（x）的定义域为R，若f（1－x）为奇函数，f（x－1）为偶函数.设f（－2）＝1，则f（2）＝（　　） A.－1　　　　　　　　　 B.0 C.1 D.2 2.已知图象开口向上的二次函数f（x），对任意x∈R，都满足f（－x）＝f（x＋），若f（x）在区间（a，2a－1）上单调递减，则实数a的取值范围为（　　） A.（－∞，］ B.（1，］ C.［－，＋∞） D.（－∞，2] 题型二 函数性质的综合应用 【例2】　已知函数f（x）＝是定义在（－1，1）上的奇函数，且f（）＝. （1）确定函数f（x）的解析式； （2）用定义法证明f（x）在（－1，1）上是增函数； （3）解不等式：f（t－1）＋f（t）＜0. 通性通法 解决对称性、单调性和奇偶性综合问题的方法 （1）图象法：根据题意，作出符合要求的草图，便可得出结论； （2）性质法：根据对称性、单调性和奇偶性的性质，逐步推导解决求值和比较大小的问题. 提醒　使用性质要规范，切不可自创性质. 【跟踪训练】 已知函数f（x）的定义域为（－2，2），函数g（x）＝f（x－1）＋f（3－2x）. （1）求函数g（x）的定义域； （2）若f（x）为奇函数，并且在定义域上是减函数，求不等式g（x）≤0的解集. 1.已知奇函数f（x）的定义域为R，若f（x＋2）为偶函数，且f（1）＝1，则f（4）＋f（5）＝（　　） A.－1　　　B.0　　　C.1　　　D.2 2.奇函数f（x）在区间[0，＋∞）上的图象如图，则函数f（x）的增区间为　　　　. 3.已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x＜0时，f（x）＝1＋. （1）求f（2）的值； （2）用定义法判断y＝f（x）在区间（－∞，0）上的单调性； （3）求当x＞0时，f（x）的解析式. 培优课　函数性质的综合问题 【典型例题·精研析】 【例1】　B　∵y＝f（x）的图象关于点（，0）对称，∴f（＋x）＋f（－x）＝0，即f（1＋x）＋f（－x）＝0.又∵y＝f（x）为偶函数，∴f（－x）＝f（x），∴f（1＋x）＋f（x）＝0，即f（1＋x）＝－f（x），∴f（）＝－f（）＝0. 跟踪训练 1.A　∵f（x－1）为偶函数，∴f（－x－1）＝f（x－1），∴f（x）图象关于直线x＝－1对称，∴f（－2）＝f（0）＝1；∵f（1－x）为奇函数，∴f（1＋x）＝－f（1－x），∴f（x）图象关于点（1，0）对称，∴f（2）＝－f（0）＝－1，故选A. 2.B　由f（－x）＝f（x＋），得函数f（x）图象的对称轴是直线x＝，又二次函数f（x）图象开口向上，若f（x）在区间（a，2a－1）上单调递减，则解得1＜a≤.故选B. 【例2】　解：（1）根据题意得 即 解得∴f（x）＝. （2）证明：任取x1，x2∈（－1，1），且令x1＜x2， f（x1）－f（x2）＝－ ＝. ∵－1＜x1＜x2＜1， ∴x1－x2＜0，1＋＞0，1＋＞0，1－x1x2＞0， ∴f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）， ∴f（x）在（－1，1）上是增函数. （3）f（t－1）＜－f（t）＝f（－t）. ∵f（x）在（－1，1）上是增函数， ∴解得0＜t＜. ∴不等式的解集为. 跟踪训练 　解：（1）由题意可知 所以解得＜x＜， 故函数g（x）的定义域为（，）. （2）由g（x）≤0，得f（x－1）＋f（3－2x）≤0， ... ...