一、应用正弦、余弦定理解三角形 1.这类问题一般要先审查题设条件，进行归类，根据题目类型确定应用哪个定理解决.常见题型有：（1）一边和两角（如a，B，C）；（2）两边和夹角（如a，b，C）；（3）三边（a，b，c）；（4）两边和其中一边的对角（如a，b，A）. 2.已知三角形的任意两个角和一边，可结合三角形内角和定理及正弦定理解此三角形.已知三角形的两边和其中一边的对角，这个三角形解的情况是不确定的.如已知△ABC的边长a，b和角A，根据正弦定理求角B时，可能出现一解、两解、无解的情况，这时应借助已知条件进行检验，务必做到不漏解、不多解. 【例1】 （2024·徐州月考）在△ABC中，B＝45°，AC＝，cos C＝. （1）求BC边的长； （2）求AB边上的中线CD的长. 反思感悟 应用正弦、余弦定理需注意的三个方面 （1）正弦定理和余弦定理揭示了三角形边角之间的关系，解题时要根据题目条件恰当地实现边角的统一； （2）统一为“角”后，要注意正确利用三角恒等变换及诱导公式进行变形；统一为“边”后，要注意正确利用配方、因式分解等代数变换方法进行变形； （3）求值时注意方程思想的运用. 【跟踪训练】 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝acos B. （1）求B的大小； （2）若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值. 二、判断三角形的形状 1.根据已知条件判断三角形的形状时，主要的方法是边角互化，一般有两种途径：（1）将已知条件统一化成边的关系，用代数方法求解；（2）将已知条件统一化成角的关系，用三角知识求解. 2.边角互化的常见方法有：（1）通过正弦定理进行边角转换；（2）通过余弦定理进行边角转换；（3）通过三角变换找出角之间的关系；（4）b2＋c2－a2＞0 A为锐角，b2＋c2－a2＝0 A为直角，b2＋c2－a2＜0 A为钝角. 【例2】 （1）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 （2）（2024·无锡堰桥中学期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acos A＝bcos B，且c2＝a2＋b2－ab，则△ABC的形状为（ ） A.等腰三角形或直角三角形 B.等腰直角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 反思感悟 利用正弦、余弦定理判断三角形形状的方法 （1）通过边之间的关系判断形状； （2）通过角之间的关系判断形状. 合理利用正弦、余弦定理将已知条件中的边、角互化，把条件统一为边的关系或角的关系. 【跟踪训练】 在△ABC中，若＝，试判断△ABC的形状. 三、正弦、余弦定理在实际问题中的应用 1.正弦定理和余弦定理在实际生活中，有着非常广泛的应用，常见的问题涉及距离、高度、角度以及平面图形的面积等很多方面. 2.在应用正弦定理或余弦定理解决实际问题时，关键是根据题意画出示意图，将问题抽象为三角形的模型，然后利用定理求解.注意隐含条件和最后将结果还原为实际问题进行检验. 【例3】 如图，从气球A上测得其正前下方的河流两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度AD是 60 m，则河流的宽度BC是（ ） A.240（－1）m B.180（－1）m C.120（－1）m D.30（＋1）m 反思感悟 正弦、余弦定理在实际应用中应注意的问题 （1）分析题意，弄清已知元素和未知元素，根据题意画出示意图； （2）明确题目中的一些名词、术语的意义，如仰角、俯角、方向角、方位角等； （3）将实际问题中的数量关系归结为数学问题，利用学过的几何知识，作出辅助线，将已知与未知元素归结到同一个三角形中，然后解此三角形； （4）在选择关系时，一是力求简便，二是要尽可能使用题目中的原有数据，尽量减少计算中误差的积累. 【跟踪训练】 如图，A，B是海面上位于东西方向相距5（3＋）n mil ... ...
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