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课件网) 知识点 1 正态曲线 知识 清单破 4.2.5 正态分布 1.正态曲线的概念 一般地,φ(x)= (其中μ=E(X),即X的均值;σ = ,即X的标准差)对应的图象 称为正态曲线(或钟形曲线),φ(x)也常常记为φμ,σ(x). 2.正态曲线的性质 (1)正态曲线关于直线x=μ对称(即μ决定正态曲线对称轴的位置),具有中间高、两边低的特 点; (2)正态曲线与x轴所围成的图形面积为1; (3)如图所示,σ决定正态曲线的“胖瘦”:σ越大,说明标准差越大,数据的集中程度越弱,所以 曲线越“胖”;σ越小,说明标准差越小,数据的集中程度越强,所以曲线越“瘦”. 知识点 2 正态分布 1.概念:一般地,如果随机变量X落在区间[a,b]内的概率,总是等于φμ,σ(x)对应的正态曲线与x轴 在区间[a,b]内围成的面积,则称X服从参数为μ与σ的正态分布,记作X~N(μ,σ2),此时φμ,σ(x)称为 X的概率密度函数. 2.若X~N(μ,σ2),则 P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈68.3%, P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈95.4%, P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈99.7%. 3.“3σ原则” 由P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈99.7%知,随机变量X约有99.7%的可能会落在距均值3个标准差的范 围之内,也就是说只有约0.3%的可能会落入这一范围之外(这样的事件可看成小概率事件),这 一结论通常称为正态分布的“3σ原则”. 知识点 3 标准正态分布 1.μ=0且σ=1的正态分布称为标准正态分布,记作X~N(0,1). 2.任意正态分布Y~N(μ,σ2)都可以通过X= 转化为标准正态分布X~N(0,1). 3.如果X~N(0,1),那么对于任意a,通常记Φ(a)=P(X
0时,有如下性质: (1)Φ(-a)=1-Φ(a); (2)P(|X|a) =2[1-Φ(a)]. 知识辨析 判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”. 1.随机变量的概率密度函数φ(x)的表达式中,参数μ,σ的意义分别是随机变量的均值与方差. ( ) 2.正态曲线是单峰的,其与x轴围成的区域的面积是随参数μ,σ的变化而变化的.( ) 3.正态曲线可以关于y轴对称. ( ) 概率密度函数φ(x)的表达式中,参数μ,σ的意义分别是随机变量的均值与标准差. 提示 正态曲线与x轴围成的区域的面积总为1,不会随参数μ,σ的变化而变化. 提示 √ 4.若随机变量X~N(μ,σ2),则X可以是离散型随机变量.( ) 5.正态曲线的对称轴的位置由μ确定,曲线形状由σ确定.( ) 服从正态分布的随机变量X为连续型随机变量. 提示 √ 在正态分布下求概率的关键在于恰当地利用正态曲线的对称性,把待求概率的区间转化 为已知概率的区间.当条件中无已知概率时,则要将区间转化为三个特殊区间:[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ, μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ],利用随机变量X在这三个特殊区间取值的概率进行计算. 一般地,若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则 (1)P(X≥a)=1-P(X-2)=0.8,则P(-2-2)=0.8,所以P(X≤-2)=1-P(X>-2)=0.2, 所以P(-2