(
课件网) 6.2 空间向量的坐标表示 知识点 1 空间向量基本定理 必备知识 清单破 3.推论 设O,A,B,C是不共面的四点,则对空间任意一点P,都存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得 =x +y +z . 1.空间直角坐标系 如图(1),在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}.以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正 方向建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫作坐标轴.这时我们说建立了一个空间直角坐标 系O-xyz,点O叫作坐标原点,三条坐标轴中的每两条确定一个坐标平面,分别称为xOy平面、 yOz平面和zOx平面. 知识点 2 空间向量的坐标表示 如图(2),在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,若中指指 向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系. 2.空间向量的坐标 在空间直角坐标系O-xyz中,对于空间任意一个向量a,根据空间向量基本定理,存在唯一的有 序实数组(a1,a2,a3),使a=a1i+a2j+a3k({i,j,k}为空间的一个单位正交基底). 有序实数组(a1,a2,a3)叫作向量a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标,记作a=(a1,a2,a3). 3.点的坐标 如图,在空间直角坐标系O-xyz中,对于空间任意一点P,我们称向量 为点P的位置向量.于是, 存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得 =xi+yj+zk.因此,向量 的坐标为 =(x,y,z).此时,我们 把与向量 对应的有序实数组(x,y,z)叫作点P的坐标,记作P(x,y,z). 知识拓展 空间直角坐标系中位于坐标轴、坐标平面上的点的坐标如表所示: 点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 坐标形式 (x,0,0) (0,y,0) (0,0,z) 点的位置 xOy平面 yOz平面 zOx平面 坐标形式 (x,y,0) (0,y,z) (x,0,z) 4.空间向量的坐标运算 设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则 (1)a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2); (2)a-b=(x1-x2,y1-y2,z1-z2); (3)λa=(λx1,λy1,λz1),λ∈R; (4)a·b=x1x2+y1y2+z1z2. 若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则 (1) =(x2-x1,y2-y1,z2-z1); (2)A,B间的距离为AB= ; (3)线段AB的中点坐标为 . 5.空间向量的平行、垂直、模及夹角的坐标表示 设两个非零向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则 名称 满足条件 向量表示形式 坐标表示形式 a∥b b=λa(λ∈R) x2=λx1,y2=λy1,z2=λz1 (λ∈R) a⊥b a·b=0 x1x2+y1y2+z1z2=0 模 |a|= |a|= 夹角 cos
= cos= 知识辨析 1.点P(1,0,0)在哪一条坐标轴上 2.点P(1,1,0)在哪一个坐标平面内 3.如何求解空间直角坐标系中任一点的坐标 4.若O为坐标原点, =(x,y,z),则P(x,y,z)是否正确 5.设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),若a∥b,则 = = 是否成立 6.设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),若x1x2+y1y2+z1z2>0,则一定是锐角吗 一语破的 1.点P(1,0,0)在x轴上,点P(0,1,0)在y轴上,点P(0,0,1)在z轴上. 2.点P(1,1,0)在xOy平面内,点P(0,1,1)在yOz平面内,点P(1,0,1)在xOz平面内. 3.点在空间直角坐标系中的位置有3种可能:点在坐标轴上、点在坐标平面内和点不是特殊 点.对于前两种,熟悉点的坐标特征即可轻松写出其坐标;对于第三种,一般是先确定点在xOy 平面内的射影的位置,再由竖坐标确定点在空间直角坐标系中的具体位置,进而得到其坐标. 4.不正确.若O为坐标原点, =(x,y,z),则 =- =(-x,-y,-z),∴P(-x,-y,-z). 5.不一定成立.当a∥b且x2y2z2=0时, = = 无意义. 6.不一定.若x1x2+y1y2+z1z2>0,则为零角或锐角. 1.用基底表示空间向量 若未给定基底,则先选择基底,选择时,要尽量选择共起点的三个向量,再看基向量的模及 其夹角是否已知或易求.基底确定后,利用空间向量的三角形法则、平行四边形法则和共线 向量的特点,把目标向量逐步分解,向基底靠近,最后化简整理求出结果. 2.用基底法解决立体几何问题 利用基底法可解决立体几何中线面关系问题及与夹角、距离(长度)有关的问题,解 ... ... 