专题强化练2 利用向量法求空间角和空间距离 1.如图1,四边形ABCD为平行四边形,E为CD的中点,AB=4,AD=AE=2,将△ADE沿AE折起,使点D到达点P的位置,如图2. (1)若平面APE⊥平面ABCE,求证:AP⊥BE; (2)若点A到直线PC的距离为,求二面角P-AE-B的余弦值. 2.在如图所示的圆锥中,已知P为圆锥的顶点,O为底面的圆心,其母线长为6,边长为3的等边△ABC内接于圆锥底面,且λ∈. (1)证明:平面DBC⊥平面DAO; (2)若E为AB的中点,射线OE与底面圆周交于点M,当二面角A-DB-C的余弦值为时,求点M到平面BCD的距离. 3.如图,在三棱锥P-ABC中,侧面PAB是锐角三角形,PA⊥BC,平面PAB⊥平面ABC. (1)求证:AB⊥BC; (2)PA=PB=2,AC=4,点D在棱BC(异于点B,C)上,当三棱锥P-ABC的体积最大时,二面角C-PA-D的平面角大于30°,求线段BD的长度的取值范围. 4.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,PA⊥平面ABCD,M,N分别为BC,PA的中点,且AB=AC=1,AD=. (1)若PA=1,求直线MN与平面PBC所成角的正弦值; (2)若直线AC与平面PBC所成角的正弦值的取值范围为,求平面PBC与平面ABCD所成锐二面角的余弦值的取值范围. 答案与分层梯度式解析 专题强化练2 利用向量法求空间角和空间距离 1.解析 (1)证明:由题易知△ADE为等边三角形,又四边形ABCD为平行四边形,所以∠AEC=∠BCE=120°. 因为E为CD的中点,所以CE=CB,所以△BCE为等腰三角形,所以∠CEB=30°,所以∠AEB=90°,即BE⊥AE. 又平面APE⊥平面ABCE,平面APE∩平面ABCE=AE,BE 平面ABCE,所以BE⊥平面APE. 又AP 平面APE,所以AP⊥BE. (2)取AE的中点O,连接PO. 因为△APE为等边三角形,所以PO⊥AE. 取AB的中点G,连接OG,则OG∥BE. 由(1)得BE⊥AE,所以OG⊥AE. 以O为坐标原点,OA,OG所在直线分别为x轴,y轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(1,0,0),C(-2,,0). 设二面角P-AE-B的平面角为θ,即∠POG=θ. 易知OP=,则P(0,cos θ,sin θ), 所以cos θ,-sin θ), cos θ,-sin θ), 所以点A到直线PC的距离为,解得cos θ=-或cos θ=,所以二面角P-AE-B的余弦值为-. 2.解析 (1)证明:由题意可得OP⊥平面ABC,又BC 平面ABC,∴OP⊥BC,即OD⊥BC. ∵O为△ABC外接圆的圆心,且△ABC为正三角形,∴OA⊥BC. 又OA∩OD=O,OA,OD 平面DAO, ∴BC⊥平面DAO, 又BC 平面DBC,∴平面DBC⊥平面DAO. (2)延长AO交BC于点F,则F为BC的中点,作OG∥BC交AB于G, ∵OA⊥BC,OG∥BC,∴OA⊥OG,即OF⊥OG. ∵OD⊥平面ABC,OG,OF 平面ABC, ∴OD⊥OG,OD⊥OF. 以O为坐标原点,OG,OF,OD所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图, 则O(0,0,0),A(0,-3,0),B), 所以,0,0), 由,得D(0,0,3λ), 则λ). 设平面ABD的一个法向量为m=(x1,y1,z1), 则 令y1=λ,得x1=-3λ,z1=-1,则m=(-3λ,λ,-1). 设平面BCD的一个法向量为n=(x2,y2,z2), 则 令y2=6λ,得x2=0,z2=3,则n=(0,6λ,3). 所以|cos
|=,且λ∈, 所以λ=, 所以D(0,0,2),n=(0,4,3), 易知M, 所以, 所以点M到平面BCD的距离d=. 3.解析 (1)证明:过点P作PE⊥AB于点E, 因为平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,PE 平面PAB, 所以PE⊥平面ABC, 又因为BC 平面ABC,所以PE⊥BC, 又PA⊥BC,PE∩PA=P,PE,PA 平面PAB, 所以BC⊥平面PAB, 又AB 平面PAB,所以AB⊥BC. (2)设AB=2a,BC=2b,由AB⊥BC,得AB2+BC2=AC2,即4a2+4b2=16,所以a2+b2=4,所以b=, 易知PE=, 所以VP-ABC=a(4-a2), 令f(a)=a(4-a2),则f '(a)=(4-3a2), 令f '(a)=0,解得a=, 当00,f(a)单调递增; 当0,则D(m,0,0),C, 所以, 设平面CPA的一个法向量为n1=(x1,y1,z1), 则 令y1=,得x1=1,z1 ... ... 
