综合拔高练-《精讲精练》26版高中同步新教材数学苏教版（2019）选择性必修第二册

综合拔高练 高考真题练　　　　　 　　　　 　　　　 考点1　用空间向量判定、证明平行与垂直 1.(2022全国乙理,7)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,BC的中点,则(　　) A.平面B1EF⊥平面BDD1 B.平面B1EF⊥平面A1BD C.平面B1EF∥平面A1AC D.平面B1EF∥平面A1C1D 2.(2023全国乙理,19)如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=2,BC=2,BP,AP,BC的中点分别为D,E,O,AD=DO,点F在AC上,BF⊥AO. (1)证明:EF∥平面ADO; (2)证明:平面ADO⊥平面BEF; (3)求二面角D-AO-C的正弦值. 考点2　用空间向量求解空间角问题 3.(2022全国甲理,18)在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,CD∥AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=. (1)证明:BD⊥PA; (2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值. 4.(2024新课标Ⅰ,17)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=AC=2,BC=1,AB=. (1)若AD⊥PB,证明:AD∥平面PBC; (2)若AD⊥DC,且二面角A-CP-D的正弦值为,求AD. 5.(2024新课标Ⅱ,17)如图,平面四边形ABCD中,AB=8,CD=3,AD=5,∠ADC=90°,∠BAD=30°,点E,F满足.将△AEF沿EF翻折至△PEF,使得PC=4. (1)证明:EF⊥PD; (2)求面PCD与面PBF所成的二面角的正弦值. 考点3　用空间向量求解空间距离 6.(2023全国甲理,18)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C⊥平面ABC,∠ACB=90°,AA1=2,A1到平面BCC1B1的距离为1. (1)证明:A1C=AC; (2)已知AA1与BB1的距离为2,求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值. 7.(2024天津,17)已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为梯形,AB∥CD,A1A⊥平面ABCD,AD⊥AB,其中AB=AA1=2,AD=DC=1.N是B1C1的中点,M是DD1的中点. (1)求证:D1N∥平面CB1M; (2)求平面CB1M与平面BB1C1C的夹角余弦值; (3)求点B到平面CB1M的距离. 考点4　用空间向量解决立体几何中的最值问题 8.(2021全国甲理,19)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1B1B为正方形,AB=BC=2,E,F分别为AC和CC1的中点,D为棱A1B1上的点,BF⊥A1B1. (1)证明:BF⊥DE; (2)当B1D为何值时,面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小 9.(2020新高考Ⅰ,20)如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l. (1)证明:l⊥平面PDC; (2)已知PD=AD=1,Q为l上的点,求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值. 高考模拟练 应用实践 1.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2,点E,F满足,则下列结论正确的有(　　) A.直线BE与D1F一定为异面直线 B.直线AE与平面ACB1所成角的正弦值为 C.四面体ADEF的体积恒为2 D.当λ=μ时,AF+A1F的最小值为 2.(多选题)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,H为棱AA1(包含端点)上的动点,下列命题正确的是(　　) A.CH⊥BD B.二面角D1-AB1-C的平面角的大小为 C.点H到平面CB1D1的距离的取值范围是 D.若CH⊥平面β,则直线CD与平面β所成角的正弦值的取值范围为 3.(多选题)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E为线段A1D1的中点,F为线段CC1上的一个动点,则下列说法正确的是(　　) A.当F为CC1的中点时,点B1到平面AEF的距离为 B.当F为CC1的中点时,记DB1与平面AEF的交点为M,则DM=DB1 C.存在点F,使得异面直线DB1与BF所成的角为45° D.存在点F,使得点F到直线AE的距离为 4.如图,四边形ABCD是边长为2的菱形,∠ABC=60°,四边形PACQ为矩形,PA=1,从下列三个条件中任选一个作为已知条件,并解答问题. ①BP,DP与平面ABCD所成的角相等;②三棱锥P-ABD的体积为;③cos∠BPA=. (1)证明:平面PACQ⊥平面ABCD; (2)求二面角B-PQ-D的大小; (3)求点C到平面BPQ的距离. 5.如图,在三棱锥A-BCD中,平面ABD⊥平面BCD,AB=AD,O为BD的中点,△OCD是边长为1的等边三角形,且VA-BCD=. (1)证明:OA⊥CD; (2)求直线CD与平面ABC所成角的正弦值; (3)在棱AD上是否存在点E,使得二面角E-BC-D的大小为45° 若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. 迁移创新 6.《瀑布》(图1)是为人所熟知的作品之 ... ...