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课件网) 北师大版 数学 选择性必修第一册 课标定位 素养阐释 1.了解椭圆的实际背景,经历从具体情境中抽象出椭圆的过程,理解椭圆、焦点、焦距的定义.理解椭圆标准方程的推导与化简. 2.掌握椭圆的标准方程及几何图形.理解参数a,b,c的几何意义,会求一些简单的椭圆的标准方程.学好数形结合数学思想的运用. 3.通过对椭圆定义的归纳和标准方程的推导,培养发现规律、认识规律并利用规律解决实际问题的能力,提高探索数学的兴趣,激发学习热情. 自主预习 新知导学 一、椭圆的定义 【问题思考】 1.(1)将一条细绳的两端用图钉分别固定在平面内的两个定点F1,F2上,用笔尖将细绳拉紧并运动,在纸上能得到怎样的图形 提示:得到一个椭圆. (2)笔尖在移动的过程中,笔尖到两个定点F1和F2的距离之和是一个定值吗 提示:是.其距离之和始终等于细绳的长度. 2.平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于 常数 (大于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作 椭圆 . 这两个定点F1,F2叫作椭圆的 焦点 ,两个焦点间的距离|F1F2|叫作椭圆的 焦距 . 3.(多选题)下列命题是真命题的有( ). A.已知定点F1(-1,0),F2(1,0),则满足|PF1|+|PF2|= 的点P的轨迹为椭圆 B.已知定点F1(-2,0),F2(2,0),则满足|PF1|+|PF2|=4的点P的轨迹为线段 C.到定点F1(-3,0),F2(3,0)距离相等的点的轨迹为椭圆 D.若点P到定点F1(-4,0),F2(4,0)的距离的和等于点M(5,3)到定点F1(-4,0), F2(4,0)的距离的和,则点P的轨迹为椭圆 BD 解析: A项,因为 <2,所以点P的轨迹不存在;B项,因为|F1F2|=4,所以点P的轨迹是线段F1F2;C项,到定点F1(-3,0),F2(3,0)距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线(y轴);D项,因为点M(5,3)到定点F1(-4,0),F2(4,0)的距离的和为4 >8,所以点P的轨迹为椭圆.故选BD. 二、椭圆的标准方程 【问题思考】 1.(1)根据椭圆的几何特征,如何建立坐标系求椭圆的方程 提示:以两定点F1,F2所在的直线为x轴,F1F2的中点为坐标原点建立平面直角坐标系,然后按照直接法求轨迹方程的步骤求出椭圆方程. (2)在推导椭圆的标准方程的过程中,如何处理等式中的两个根式 提示:将其中一个根式移到另一端,两边平方然后再次平方即可. 3.两个焦点坐标分别为(2,0)和(-2,0),且经过点(5,0)的椭圆的标准方程为( ). 答案:C 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”. (1)平面内与两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹就是椭圆.( ) × × × √ 合作探究 释疑解惑 探究一 用待定系数法求椭圆的标准方程 【例1】 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别为(-3,0),(3,0),并且椭圆上一点P与两个焦点的距离的和等于10; (2)两个焦点的坐标分别为(0,-2),(0,2),且经过点(4,3 ); 求椭圆标准方程的步骤 (1)作判断:依据条件判断椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上,还是在两条坐标轴上都有可能. (2)设方程: ②在不能确定焦点位置的情况下也可设方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,且m≠n). (3)找关系:依据已知条件,建立关于a,b,c或m,n的方程组. (4)得方程:解方程组,代入所设方程即为所求. 其主要步骤可归纳为“先定型,再定量”. 【变式训练1】 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别为(-4,0)和(4,0),且椭圆经过点(5,0); (2)焦点在y轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0); 探究二 用定义法求椭圆的标准方程 【例2】 已知一动圆M与圆Q1:(x+3)2+y2=1外切,与圆Q2:(x-3)2+y2=81内切,试求动圆圆心M的轨迹方程. 解:由已知,得两定圆的圆心和半径分别为Q1(-3,0),R1=1,Q2(3,0),R2=9. 设动圆圆心为M(x,y),半径为R. 由题设有|MQ1|=1+R,|MQ2|=9-R, 所以|MQ1|+|MQ2|=10>|Q1Q2|=6. 由椭圆的定义,知点M在以Q1,Q2为左、右焦点的椭圆上,且a=5,c= ... ...
