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课件网) 5.4 第1课时 新授课 二项式定理的推导 根据多项式的乘法法则，容易知道(a+b)2=a2+2ab+b2, (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,如果称等式的右边为左边的展开式，那么如何求出(a+b)n的展开式？ 1.能用多项式法则和计数原理推导出二项式定理. 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 请计算(a+b)2，(a+b)3和(a+b)4，分析其运算过程，并用组合数表示各项系数. 知识点一：二项式定理 根据多项式乘法法则， 项的形式： 展开式共有： 当 时， 2个(a+b)都不选b. a2的系数为 ,即a2系数为1； 3项 当 时， 当 时， 1个(a+b)中选a，另一个(a+b)中选b. 2个(a+b)都选b. ab的系数为 ,即ab系数为2； b2的系数为 ,即b2系数为1. 展开式共有： 项的形式： 系数为 系数为 4项 3个(a+b)都选a. 2个(a+b)中选a，1个(a+b)中选b. 系数为 系数为 1个(a+b)中选a，2个(a+b)中选b. 3个(a+b)中都选b. a4 a3b ab3 b4 a2b2 问题：根据以上分析，猜想(a+b)n的展开式是怎样的？ 各项是从n个因式中各取一个字母相乘得到关于a,b的n次单项式，有 项的形式： 展开式共有： n+1项. 从n个因式中都取b，系数为 从n个因式中取k个b，系数为 从n个因式中取2个b，系数为 从n个因式中取1个b，系数为 从n个因式中都不取b，系数为 项的系数： …… …… 二项式定理： (a+b)n的二项展开式 上式可简写成 二项式系数 概念生成 式中的 用Tk+1表示，称为二项展开式中第（k+1）项，又称为二项式通项， 记作 二项式定理： 知识点二：二项式定理的应用 例1 求 的展开式. 解：根据二项式定理， 例2 求 的展开式. 解：根据二项式定理， 例3 求 的展开式. 解：根据二项式定理， 例4 求 的展开式中x4y3的系数. 解：设展开式中的第k+1项为含x4y3的项， 令7-k=4,得k=3, 则 ∴x4y3的系数为 求二项展开式的特定项的系数的一般步骤： 归纳总结 1.写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是题目要求的项； 2.合并通项公式中同一字母的指数； 3.根据具体要求，令字母的指数符合题目要求； 4.再计算求得二项展开式的特定项的系数. 求 的展开式中x3的系数. 练一练 解：设展开式中的第k+1项为含x3的项， 令9-2k=3,得k=3, 则 ∴x3的系数为 根据今天所学,回答下列问题： 1.二项式定理是怎样推导的？ 2.二项式系数和展开式通项分别是什么？
