第七章 统计案例 §1 一元线性回归 新课导入 在现实中，我们经常需要了解两个或两个以上变量之间的关系.例如： （1）教育部门为掌握学生身体健康状况，需要了解身高变量和体重变量之间的关系；（2）商家要根据顾客的意见改进服务水平，希望了解哪些因素影响服务水平，以及这些因素是如何起作用的；等等.为此，我们需要进一步学习通过样本推断变量之间关系的知识和方法. 学习目标 1.能结合实例，根据散点图，判断两个变量是否具有相关关系. 2.了解最小二乘法的原理，会求线性回归方程，并能根据线性回归方程进行预测. 新知学习 探究 一 直线拟合 思考1．如何判断两个变量和之间是否具有线性关系？ 提示：常用的简便方法就是绘制散点图. 思考2．如何判断拟合效果？ 提示：散点图中包含的数据越多，拟合效果就越好. ［知识梳理］ 1.散点图 每个点对应的一对数据，称为成对数据.这些点构成的图称为散点图. 2．曲线拟合 从散点图上可以看出，如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似地描述.这样近似描述的过程称为①_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】曲线拟合 3．直线拟合 若在两个变量和的散点图中，所有点看上去都在一条直线附近波动，此时就可以用一条直线来近似地描述这两个量之间的关系，称之为②_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】直线拟合 ［例1］ 某种木材的体积与树龄之间有如下对应关系： 树龄/年 2 3 4 5 6 7 8 体积/ 30 34 40 60 55 62 70 （1） 请根据这些数据作出散点图； （2） 你能由散点图发现木材的体积与树龄近似地呈现什么关系吗？ 【答案】 （1） 【解】 以 轴表示木材的树龄，轴表示木材的体积，可得相应的散点图如图所示. （2） 由散点图可以发现木材的体积随着树龄的增加呈增加的趋势，且所有点大致分布在一条直线附近，所以木材的体积与树龄近似地呈现线性关系. 判断成对数据和间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是近似地呈线性关系，注意不要受个别点的位置的影响. ［跟踪训练1］． （1） （多选）下列变量之间的关系是相关关系的是（ ） A. 圆的面积和半径 B. 成长期内，人的年龄与身高 C. 降雪量和交通事故发生率 D. 每亩田施肥量和粮食亩产量 （2） 在如图所示的四个图中，两个变量具有线性关系的是 A. B. C. D. 【答案】（1） BCD （2） B 【解析】 （1） 选.对于，两者之间是确定性的函数关系；对于，一般来说，成长期内，人的年龄越大，身高越高,故两者是相关关系；对于，一般来说降雪量越大，交通事故发生率越高,故两者是相关关系；对于，一般来说在一定范围内，施肥量越多，粮食亩产量越高,故两者是相关关系.故选. （2） 选.因为 选项中的点大致分布在一条直线附近.故选. 二 一元线性回归方程 思考1．是否能像建立函数模型刻画两个变量之间的确定性关系那样，通过建立适当的统计模型来刻画两个变量之间的相关关系，并通过模型进行预测？ 提示：能，当两个变量之间有较强的线性相关关系时，可以用一元线性回归模型刻画两个变量之间的关系． 思考2．任何一组数据都可以由最小二乘法得出线性回归方程吗？ 提示：用最小二乘法求线性回归方程的前提是先判断所给数据具有线性关系（可利用散点图来判断），否则求出的线性回归方程是无意义的. ［知识梳理］ 1.最小二乘法 对于给定的两个变量和（如身高和体重），可以把其成对的观测值，， ，表示为平面直角坐标系中的个点.现在希望找到一条直线，使得对每一个，由这个直线方程计算出来的值与实际观测值的差异尽可能小.为此，希望达到最小.换句话说，我们希望，的取值能使上式达到最小.这个方法称为最小二乘法. 2．线性回归 ... ...
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