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课件网) 上图中的表叫作二项式系数表,历史上也称为杨辉三角.它有如下规律: 设表中任意一个不为“1”的数为 ,那么它“肩上”的两个数分别为 及 ,由组 合数的性质2得到: = + . 知识点 1 二项式系数表(杨辉三角) 知识 清单破 4.2 二项式系数的性质 1.对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即 = . 2.增减性与最大值 当k< 时, 随k的增大而增大;当k> 时, 随k的增大而减小.当n是偶数时,中间的一项 为最大值;当n是奇数时,中间的两项 与 相等,且同时为最大值. 3.各二项式系数的和 (a+b)n的展开式的各二项式系数的和等于2n,即 + + +…+ =2n. (a+b)n的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和,即 + + +… = + + +…. 知识点 2 二项式系数的性质 知识辨析 判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”. 1.二项展开式的各二项式系数的和为 + +…+ . ( ) 2.二项展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同. ( ) 3.若(a+b)n的展开式的第4项的二项式系数与第6项的二项式系数相等,则第5项一定是二项式 系数最大项. ( ) 4.(x+2)5与(x-2)5的展开式的各二项式系数和一定不相等.( ) √ 提示 提示 提示 二项展开式的各二项式系数的和为 + + +…+ =2n. 由题意可知, = ,所以n=3+5=8,(a+b)8的展开式的中间项为第5项,所以第5项为二项式 系数最大项. (x+2)5与(x-2)5的展开式的各二项式系数和均为25. 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路 (1)观察:对数据要横看、竖看、隔行看、连续看,多角度观察. (2)规律:通过观察找出每一行的数据之间、行与行的数据之间的规律. (3)表达:将发现的规律用数学式子表达. (4)结论:用数学表达式写出结论. 讲解分析 疑难 情境破 疑难 1 杨辉三角问题 典例 如图,在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中,第10行中最大的数与第二大的数的比 值为 (用最简分数表示). 解析 观察题图知,第10行从左至右依次为 , , ,…, ,由二项式系数的性质可得 最 大,第二大的数为 = ,所以第10行中最大的数与第二大的数的比值为 = = . 1.二项式系数的有关性质的形成过程体现了观察—猜想—证明—归纳的数学方法,并且在归 纳证明的过程中应用了函数思想、方程思想等数学思想,大致对应如下: 讲解分析 疑难 2 二项式系数的性质及其应用 2.求展开式中二项式系数最大的项,可根据二项式系数的性质:当n为奇数时,中间两项的二项 式系数最大;当n为偶数时,中间一项的二项式系数最大. 3.求二项展开式中系数的最值问题有两种思路:思路一,二项展开式中的系数是关于正整数n 的式子,可以看成关于n的函数,利用判断函数单调性的方法判断系数的增减性,从而求出系数 的最值;思路二,在系数均为正值的前提下,求系数的最大值只需比较相邻两个系数的大小,根 据其展开式的二项式通项正确列出不等式(组)即可求解. 4.根据二项式系数的性质求参数的关键是正确列出与参数有关的关系式,然后解此关系式即 可.必要时,需检验所求参数是否符合题目要求. 典例 在(3x-2y)20的展开式中,求: (1)二项式系数最大的项; (2)系数绝对值最大的项; (3)系数最大的项. 解析 (1)二项式系数最大的项是第11项,且T11= 310(-2)10x10y10= 610x10y10. (2)设系数绝对值最大的项是第(r+1)(0≤r≤20,r∈N)项, 于是 化简得 解得 ≤r≤ , 又0≤r≤20,r∈N,所以r=8, 即T9= 31228x12y8是系数绝对值最大的项. (3)解法一:由于系数为正的项为y的偶次方项,因此可设第2k-1(1≤k≤11,k∈N+)项的系数最 大,于是 所以 解得k=5,则2k-1=9,所以第9项系数最大,且T9= 31228x12y8. 解法二:由(2)知系数绝对值最大的项的系数为正,故此项的系数也最大,故系数最大的项为T9 = 31228x12y8.4.2 二项式系数的性质 基础过关 ... ...
