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课件网) 知识 清单破 1.6 平面直角坐标系中的距离公式 知识点 距离公式 名称 适用情况 公式 两点间的距离公式 点A(x1,y1),B(x2,y2)之间的距离 |AB|= 点到直线的距离公式 点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0 (其中A,B不全为0)的距离 d= 两条平行直线间 的距离公式 两条平行直线Ax+By+C1=0和 Ax+By+C2=0(其中A,B不全为 0,且C1≠C2)间的距离 d= 知识辨析 判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”. 1.连接两平行直线上两个点的线段就是两平行直线间的距离. ( ) 2.点到直线的距离是点与直线上的点连线长度的最小值. ( ) 3.点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为 . ( ) 4.在求两平行直线间的距离时,可以在其中一条直线上任取一点,将两平行直线间的距离转化 为点到直线的距离. ( ) 5.使用两平行直线间的距离公式时,两直线方程中x,y的系数必须对应相等. ( ) √ √ √ 提示 提示 两平行直线间的距离是两平行直线间的公垂线段的长,并不是连接两平行直线上任意 两点的线段,而是此线段长度的最小值. 直线方程化为一般式为kx-y+b=0,则点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为 . 1.点关于点的对称 若点M(x0,y0)关于点P(a,b)的对称点为N(x,y),则由中点坐标公式可得 2.点关于直线的对称 设点M(x0,y0)关于直线l:Ax+By+C=0(A,B均不为0)的对称点为N(x,y),则点N的坐标可由方程组 求得. 讲解分析 疑难 情境破 疑难 1 对称问题 特别地,点M(x0,y0)关于直线y=x+b的对称点为M'(y0-b,x0+b),点M(x0,y0)关于直线y=-x+b的对称点 为M'(-y0+b,-x0+b).(说明:此结论仅适用于对称直线的斜率为±1的情况) 3.直线关于点的对称 求一条不垂直于坐标轴的直线关于点P(a,b)的对称直线的方程时,可在该直线上取两个 特殊点,再求它们关于点P的对称点的坐标,然后利用两点式求其对称直线的方程. 4.直线关于直线的对称 求直线l1关于直线l对称的直线l2时,可利用直线l1上的点A关于直线l的对称点A'必在直线l2上 进行求解. 典例 已知直线l:x+2y-2=0,试求: (1)点P(-2,-1)关于直线l的对称点的坐标; (2)直线l1:x-y-2=0关于直线l对称的直线l2的方程; (3)直线l关于点A(1,1)对称的直线方程. 解析 (1)设点P(-2,-1)关于直线l的对称点为P'(x0,y0), 则线段PP'的中点M在直线l上,且PP'⊥l. 所以 解得 故P'点的坐标为 . (2)设直线l与l1的交点为N,由 得N(2,0),在l1上任取一点B(0,-2),设点B关于直线l的 对称点为B'(x1,y1),则 解得 即B' , ,所以直线l2的斜率kNB'= =7,所以l2的方程为y=7(x-2),即7x-y-14=0. (3)设直线l关于点A(1,1)的对称直线为l',则直线l'上任一点P'2(x'2,y'2)关于点A的对称点P2(x2,y2) 一定在直线l上. 则 得 将(x2,y2)代入直线l的方程得x'2+2y'2-4=0,所以直线l'的方程为x+2y- 4=0. 1.在直线l上求一点P,使P到两个定点的距离之和最小 (1)当两定点A,B在直线l的异侧时,由“两点之间线段最短”及“三角形中任意两边之和大于 第三边”可知,当P为直线AB与l的交点时,点P到两定点的距离之和最小,最小值为|AB|.如图 ①,在直线l上任取一点P',则|P'A|+|P'B|≥|AB|=|PA|+|PB|. (2)当两定点A,B在直线l的同侧时,作点A关于直线l的对称点A',连接A'B交直线l于点P,此时点 P到两定点A,B的距离之和最小,最小值为|A'B|.如图②,在直线l上任取一点P',则|P'A|+|P'B|≥ |A'B|=|PA|+|PB|. 讲解分析 疑难 2 利用对称解决线段和、差的最值问题 2.在直线l上求一点P,使点P到两定点的距离之差的绝对值最大 (1)当两定点A,B在直线l的同侧时(A,B的连线与l不平行),直线AB交直线l于点P.此时,点P到两 定点的距离之差的绝对值最大,最大值为|AB|.如图③,在直线l上任取一点P',则有||P'B|-|P'A||≤ |AB|=||PB|-|PA||. (2)当两定点A,B在直线l的异侧时,作点A关于直线l的对称点A ... ...
