专题强化练4 数列求和练习-《精讲精练》26版高中同步新教材数学湘教版（2019）选择性必修第一册

专题强化练4　数列求和 1.若S=3n+3n-1×2+3n-2×22+…+3×2n-1+2n,则S=(　　) A.3n+1-4　　　　B.3n+1-2n+1 C.3n-22n-1　　　　D.32n-1-2n 2.已知函数f(x)=x+3sin+,数列{an}满足an=,则f(a1)+f(a2)+…+f(a2 018)=(　　) A.2 018　　B.2 019　　C.4 036　　D.4 038 3.(多选)在公比为q的等比数列{an}中,Sn是数列{an}的前n项和,若a1=1,a5=27a2,则下列说法正确的是(　　) A.q=3　　　　 B.数列{Sn+2}是等比数列 C.S5=121　　　　 D.2lg an=lg an-2+lg an+2(n≥3) 4.已知数列{an}的前n项和Sn=1-5+9-13+17-21+…+(-1)n-1·(4n-3),则S15+S22-S31的值是(　　) A.13　　B.-76　　C.46　　D.76 5.对于实数x,[x]表示不超过x的最大整数.已知数列{an}的通项公式为an=,前n项和为Sn,则[S1]+[S2]+…+[S50]=(　　) A.223　　B.218　　C.173　　D.168 6.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,当n≥2时,an+2=n,则S2 021=　　　　. 7.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2+n,若bn=(-1)n·,则数列{bn}的前n项和Tn=　　　　　　　　. 8.已知递增的等差数列{an}满足a1+a5=10,a2·a4=21,数列{bn}满足2log2bn=an-1(n∈N+). (1)求{bn}的前n项和Sn; (2)若Tn=nb1+(n-1)b2+…+bn,求数列{Tn}的通项公式. 9.已知数列{an}中,a1=1,a2=3,且满足=+(n∈N+). (1)设bn=(n∈N+),证明:{bn}是等差数列; (2)若cn=(n∈N+),求数列{cn}的前n项和Sn. 答案与分层梯度式解析 1.B　S=3n+3n-1×2+3n-2×22+…+3×2n-1+2n=3n·=3n·=3n+1-2n+1. 2.A　∵f(1-x)=1-x+3sin+,∴f(x)+f(1-x)=2.又∵an+a2 019-n=+=1, ∴f(an)+f(a2 019-n)=2.令S=f(a1)+f(a2)+…+f(a2 018),则S=f(a2 018)+f(a2 017)+…+f(a1),两式相加得2S=2×2 018,∴S=2 018,故选A. 3.ACD　因为a1=1,a5=27a2,所以a1·q4=27a1·q q3=27 q=3,A正确;Sn+2=+2=(3n+3),因为==3-≠常数,所以数列{Sn+2}不是等比数列,B不正确;因为Sn==×(3n-1),所以S5=×(35-1)=121,C正确;an=a1qn-1=3n-1>0,所以当n≥3时,lg an-2+lg an+2=lg(an-2an+2)=lg =2lg an,D正确.故选ACD. 4.B　∵Sn=1-5+9-13+17-21+…+(-1)n-1·(4n-3), ∴S15=(1-5)+(9-13)+(17-21)+…+(49-53)+57=-4×7+57=29, S22=(1-5)+(9-13)+(17-21)+…+(81-85)=-4×11=-44, S31=(1-5)+(9-13)+(17-21)+…+(113-117)+121=-4×15+121=61, ∴S15+S22-S31=29-44-61=-76.故选B. 解题模板 　　在数列的通项公式中含有(-1)n-1时,可利用(-1)n-1的周期性求和,即在数列中相邻的两项和为定值,将其结合成一组,根据n为奇数或偶数来判断结合后的组数.当n为偶数时,共有组;当n为奇数时,最后一项单独计算,前面有组. 5.C　∵an===-, ∴Sn=a1+a2+…+an=(-)+(-)+…+(-)=-1, ∴当n=1或n=2时,[Sn]=0,共有2个; 当n∈[3,8)时,[Sn]=1,共有5个; 当n∈[8,15)时,[Sn]=2,共有7个; 当n∈[15,24)时,[Sn]=3,共有9个; 当n∈[24,35)时,[Sn]=4,共有11个; 当n∈[35,48)时,[Sn]=5,共有13个; 当n∈[48,50]时,[Sn]=6,共有3个. ∴[S1]+[S2]+…+[S50]=0×2+1×5+2×7+3×9+4×11+5×13+6×3=173, 故选C. 6.答案　1 011 解析　由题意,当n≥2时,可得=Sn-an,因为an+2=n,所以an+2(Sn-an)=n,即2Sn=an+n, 当n≥3时,2=+n-1,两式相减,可得2an=an-+1,即an+=1,所以a2+a3=1,a4+a5=1,a6+a7=1,……,所以S2 021=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a2 020+a2 021)=1+×1=1 011. 7.答案　 解析　∵Sn=n2+n,∴当n=1时,a1=S1=1;当n≥2时,an=Sn-=n2+n-(n-1)2+(n-1)=n,满足a1=1,∴an=n, ∴bn=(-1)n·=(-1)n·=(-1)n·.当n为偶数时,Tn=-+-+…+=-1+=-;当n为奇数时,Tn=-+-+…-=-1-=-. ∴Tn= 8.解析　(1)设数列{an}的公差为d(d>0), 由 解得或(舍去), 所以an=1+(n-1)×2=2n-1, 则2log2bn=2n-2,即log2bn=n-1,所以bn=2n-1, 所以b1=1,故数列{bn}是首项为1、公比为2的等比数列,所 ... ...