综合拔高练 高考真题练 考点1 等差数列及其应用 1.(2020全国Ⅱ理,4)如图所示,北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)( ) A.3 699块 B.3 474块 C.3 402块 D.3 339块 2.(2021全国甲理,18)已知数列{an}的各项均为正数,记Sn为{an}的前n项和,从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立. ①数列{an}是等差数列;②数列{}是等差数列;③a2=3a1. 注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分. 3.(2021全国乙理,19)记Sn为数列{an}的前n项和,bn为数列{Sn}的前n项积,已知+=2. (1)证明:数列{bn}是等差数列; (2)求{an}的通项公式. 考点2 等比数列及其应用 4.(2021全国甲文,9)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S2=4,S4=6,则S6=( ) A.7 B.8 C.9 D.10 5.(2020全国Ⅱ理,6)数列{an}中,a1=2,am+n=aman.若ak+1+ak+2+…+ak+10=215-25,则k=( ) A.2 B.3 C.4 D.5 6.(2021全国乙文,19)设{an}是首项为1的等比数列,数列{bn}满足bn=.已知a1,3a2,9a3成等差数列. (1)求{an}和{bn}的通项公式; (2)记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和.证明:Tn<. 考点3 数列的综合应用 7.(2020全国Ⅰ文,16)数列{an}满足an+2+(-1)nan=3n-1,前16项和为540,则a1= . 8.(2021新高考Ⅰ,16)某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20 dm×12 dm的长方形纸,对折1次共可以得到10 dm×12 dm,20 dm×6 dm两种规格的图形,它们的面积之和S1=240 dm2;对折2次共可以得到5 dm×12 dm,10 dm×6 dm,20 dm×3 dm三种规格的图形,它们的面积之和S2=180 dm2,以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为 ;如果对折n次,那么Sk= dm2. 9.(2020新高考Ⅰ,18)已知公比大于1的等比数列{an}满足a2+a4=20,a3=8. (1)求{an}的通项公式; (2)记bm为{an}在区间(0,m](m∈N+)中的项的个数,求数列{bm}的前100项和S100. 考点4 数学归纳法* 10.(2020全国Ⅲ理,17)设数列{an}满足a1=3,an+1=3an-4n. (1)计算a2,a3,猜想{an}的通项公式并加以证明; (2)求数列{2nan}的前n项和Sn. 高考模拟练 应用实践 1.在数列{an}中,a1=4,a2=6,且当n≥2时,an+1=4an-9,若Tn是数列{bn}的前n项和,bn=,则当λ=5(an+1-3)·为整数时,λn=( ) A.6 B.12 C.20 D.24 2.(多选)意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人,斐波那契数列被誉为最美的数列,斐波那契数列{an}满足:a1=1,a2=1,an=an-1+an-2(n≥3,n∈N+).若将数列的每一项按照下图方法放进格子里,每一小格子的边长为1,记前n项所占的格子的面积之和为Sn,每段螺旋线与其所在的正方形围成的扇形面积为cn,则下列结论正确的是( ) A.Sn+1=+an+1an B.a1+a2+a3+…+an=an+2-1 C.a1+a3+a5+…+a2n-1=a2n-1 D.4(cn-cn-1)=πan-2an+1(n≥3) 3.(多选)设等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d.已知a3=12,S10>0,a6<0,则( ) A.数列的最小项为第6项 B.-0 D.Sn>0时,n的最大值为5 4.已知数列{an}满足3a1=1,n2an+1-=n2an(n∈N+),则下列选项正确的是( ) A.{an}是递减数列 B.{an}是递增数列,且存在n∈N+使得an>1 C.> D.a2 021< 5.在坐标平面内,横、纵坐标均为整数的点称为格点.现有一只蚂蚁从坐标平面的原点O出发,按如下线路沿顺时针方向爬过格点O→A1(1,0)→A2(1,-1)→A3(0,-1)→A4(-1,-1)→A5(-1,0)→A6(-1,1)→A7(0,1)→A8(1,1)→A9(2,1)→…→A ... ...
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