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课件网) 7.4 三角函数应用 课标要求 素养要求 1.会用三角函数解决简单的实际问题. 2.体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型. 通过实际问题，构建三角函数数学模型，重点提升学生的数学抽象、数学运算和数学建模素养. 新知探究 温州市区著名景点———江心屿，江心屿上面有座寺庙———江心寺，在江心寺中题了一副非常知名的对联.上联是：云朝朝 朝朝朝 朝朝朝散；下联是：潮长长 长长长 长长长消.该对联巧妙地运用了叠字诗展现了瓯江潮水涨落的壮阔画面.下面是瓯江江心屿码头在某年某个季节每天的时间与水深的关系表： 江心屿 问题 (1)仔细观察表格中的数据，你能从中得到一些什么信息？ (2)以时间为横坐标，水深为纵坐标建立平面直角坐标系，将上面表格中的数据对应点描在直角坐标系中，你能得到什么结论？ 提示 (1)水深随时间的变化呈周期变化. (2)若用平滑的曲线连结各点，则大致呈正弦曲线. 时间 0 1 3 6 8 9 12 15 18 21 24 水深 6 6.25 7.5 5 2.84 2.5 5 7.5 5 2.5 5 简谐运动(单摆、弹簧振子等)是一种周期运动，其运动规律可以用三角函数表达为y＝Asin(ωx＋φ)，其中x表示_____，y表示相对于_____的偏离； ①A表示物体运动时离开平衡位置的最大距离，称为_____； 时间 平衡位置 振幅 周期 频率 相位 初相 基础自测 [判断题] 1.函数y＝Asin(ωx＋φ)x∈R的最大值为A.( ) 提示 当A>0时，ymax＝A；当A<0时，ymax＝－A. 2.函数y＝Asin(ωx－φ)的初相为φ.( ) 提示 初相为－φ. × × √ [基础训练] 答案 2.5 答案 3πx－π 答案 1 1.现实世界中的周期现象可以用哪种数学模型描述？ 提示 三角函数模型. 2.在简谐运动中，y＝Asin(ωx＋φ)的初相，振幅、周期分别为多少？ [思考] ③小球来回摆动一次需要多少时间？ 列表： 描点画图： (2)①小球开始摆动(t＝0)，离开平衡位置为3 厘米. ②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6 厘米. ③小球来回摆动一次需要1 秒(即周期). 【训练1】 已知电流I与时间t的关系为I＝Asin(ωt＋φ). ∴ω≥300π>942，又ω∈N＋， 故所求最小正整数ω＝943. 题型二 三角函数模型在生活中的应用 【例2】 如图，游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径40米.如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时.请解答下列问题. (1)求出你与地面的距离y与时间t之间的函数解析式； (2)当你第四次距离地面60.5米时，用了多长时间？ (3)当你登上摩天轮2分钟后，你的朋友也在摩天轮最低处登上摩天轮，问：你的朋友登上摩天轮多长时间后，你和你的朋友与地面的距离之差最大？并求出最大值. 解 (1)可以用余弦型函数来表示该函数解析式， 由已知可设y＝40.5－40cos ωt(t≥0)， 由周期为12分钟可知，当t＝6分钟时到达最高点， 即函数取得最大值， 故80.5＝40.5－40cos 6ω，即得cos 6ω＝－1， 解得t＝4＋12k，k∈Z或t＝8＋12k，k∈Z， 又∵t≥0，故第四次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20(分钟). (3)与地面的距离之差最大，此时你必须在你的朋友的正上方，或你的朋友在你的正上方，由周期性知，再过2分钟后，你恰好在你的朋友的正上方；再过半个周期时，恰相反，故过(6k＋2)(k∈N)分钟后，你和你的朋友与地面的距离之差最大，最大值为40米. 规律方法 解决三角函数的实际应用问题必须按照一般应用题的解题步骤执行：(1)认真审题，理清问题中的已知条件与所求结论.(2)建立三角函数模型，将实际问题数学化.(3)利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题，求得数学模型的解.(4)根据实际问题的意义，得出实际问题的解.(5)将 ... ...
