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课件网) 章末综合提升 第4章 计数原理 体 系 构 建 返回 分 层 探 究 素养一、数学运算 数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养，主要表现为：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果等.在本章中，主要表现在二项展开式的赋值问题，二项展开式的特定项问题的运算中. 典例1 √ (2)若(3x2－2x＋1)5＝a10x10＋a9x9＋a8x8＋…＋a1x＋a0(x∈C)，求①(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2；②－a2＋a4－a6＋a8－a10. 解：①令x＝1，得a0＋a1＋…＋a10＝25； 令x＝－1，得(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)＝65. 两式相乘，得(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2＝25×65＝125. ②令x＝i，得－a10＋a9·i＋a8－a7·i－a6＋a5·i＋a4－a3·i－a2＋a1·i＋a0＝(－2－2i)5＝－25(1＋i)5＝－25[(1＋i)2]2(1＋i)＝128＋128i. 整理得，(－a10＋a8－a6＋a4－a2＋a0)＋(a9－a7＋a5－a3＋a1)·i＝128＋128i， 故－a10＋a8－a6＋a4－a2＋a0＝128. 因为a0＝1， 所以－a10＋a8－a6＋a4－a2＝127. 典例2 素养二、逻辑推理 逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养，主要表现为：掌握推理基本形式和规则，发现问题和提出问题，探索和表述论证过程，理解命题体系，有逻辑地表达与交流.本章主要表现在数学思想方法在求解计数问题中的应用方面. 题型三 数学思想方法在求解计数问题中的应用 (1)设集合S＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A＝{a1，a2，a3}是S的子集，且a1，a2，a3满足a1＜a2＜a3，a3－a2≤6，那么满足条件的集合A的个数为 A.78 B.76 C.83 D.84 典例3 若从正面考虑，当a3＝9时，a2可以取8，7，6，5，4，3，共6类；当a3＝8时，a2可以取7，6，5，4，3，2，共6类；…分类较多，而其对立面a3－a2＞6包含的情况较少，当a3＝9时，a2取2，a1取1，只有这一种情况，利用正难则反思想解决. √ 素养三、数学建模 数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养，主要表现在：发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题，在本章主要表现在排列与组合的综合应用问题中. 典例4 返回 考 教 衔 接 (2024·新课标Ⅱ卷)在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有____种选法.在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是_____. 真题1 11 21 31 40 12 22 33 42 13 22 33 43 15 24 34 44 24 112 第一步，从第一行任选一个数，共有4种不同的选法；第二步，从第二行选一个与第一个数不同列的数，共有3种不同的选法；第三步，从第三行选一个与第一、二个数均不同列的数，共有2种不同的选法；第四步，从第四行选一个与第一、二、三个数均不同列的数，只有1种选法. 11 21 31 40 12 22 33 42 13 22 33 43 15 24 34 44 由分步乘法计数原理知，不同的选法种数为4×3×2×1＝24.先按列分析，每列必选出一个数，故所选4个数的十位上的数字分别为1，2，3，4.再按行分析，第一、二、三、四行个位上的数字的最大值分别为1，3，3，5，故从第一行选21，从第二行选33，从第三行选43，从第4行选15，此时个位上的数字之和最大.故选中方格中的4个数之和的最大值为21＋33＋43＋15＝112. 11 21 31 40 12 22 33 42 13 22 33 43 15 24 34 44 (2023·新课标Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有____种(用数字作答). 真题2 64 (2022· ... ...
