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课件网) 章末综合提升 第三章 空间向量与立体几何 体 系 构 建 返回 分 层 探 究 探究点一 空间向量的概念及运算 (1)已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(4，5，λ)，若a，b，c共面，则实数λ的值为 A.3 B.4 C.5 D.6 典例 1 √ √ √ √ 规律方法 √ 1 典例 2 规律方法 利用空间向量证明或求解立体几何问题时，首先要选择基或建立空间直角坐标系转化为坐标运算，再借助向量的有关性质求解(证). 典例 3 规律方法 1.在建立空间直角坐标系的过程中，一定要依据题目所给几何图形的特征，建立合理的空间直角坐标系，这样才会容易求得解题时需要的坐标. 2.处理直线和平面的夹角、两个平面的夹角问题有两种思路：转化为两条直线的夹角、利用平面的法向量. 从而四边形HGFD是平行四边形，所以GF∥DH. 又DH 平面ADE，GF 平面ADE， 所以GF∥平面ADE. 法二：如图所示，取AB的中点M，连接MG，MF.由G 是BE的中点，可知GM∥AE. 又AE 平面ADE，GM 平面ADE，所以GM∥平面ADE. 在矩形ABCD中，由M，F分别是AB，CD的中点得 MF∥AD. 又AD 平面ADE，MF 平面ADE， 所以MF∥平面ADE. 又因为GM∩MF＝M，GM 平面GMF，MF 平面GMF，所以平面GMF∥平面ADE. 因为GF 平面GMF，所以GF∥平面ADE. 探究点四 利用空间向量求空间中的距离 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E 为A1B1的中点，F为AB的中点，H为DD1的中点，K为BB1 的中点.求： (1)直线A1H到直线KC的距离； 解：以点D1为原点，D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示. 典例 4 规律方法 1.向量法求点到平面的距离：一般转化为平面外一点与平面内一点构成的向量在平面的法向量方向上的投影向量的长度问题. 2.求直线到平面、平面到平面的距离：往往转化为点到平面的距离求解，且这个点要适当选取，以易于求解为准则. √ √ 返回 考 教 衔 接 本章内容是高考必考内容之一，多考查空间中有关平行与垂直的判定，空间角与距离的求解，空间向量的应用等问题. 高考对本章内容的考查比较稳定，针对这一特点，复习时，首先梳理本章重要定理、公式与常用结论，扫清基础知识和公式障碍；然后分题型重点复习，重视向量法求解空间角、距离问题的思路与解题过程. 真题 1 (2023·新课标Ⅰ卷)如图，在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4.点A2，B2，C2，D2分 别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2， CC2＝3. (1)证明：B2C2∥A2D2； 解：证明：以C为坐标原点，CD，CB，CC1 所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角 坐标系，如图所示， 真题 2 溯源(北师版P142A组T20)如图，在空间直角坐标系中有 长方体ABCD-A'B'C'D'，AB＝1，BC＝2，AA'＝2，点E， F分别是棱DD'和BB'的中点.求证：CE∥A'F，并求它们 的距离. 点评：两题都是以四棱柱为载体命制试题，课本题目考 查线线平行与线线距问题，而高考题考查线线平行与两点距问题，所以无论载体，还是考查内容及形式都极为相似，是很好的与教材有渊源的题目.两题都考查了空间想象能力、逻辑推理能力以及数学运算能力等核心素养. (2023·新课标Ⅱ卷)如图，三棱锥A-BCD 中， DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°， E为BC的中点. (1)证明：BC⊥DA； 解：证明：如图所示，连接AE，DE. 因为E为BC的中点，DB＝DC，所以DE⊥BC. 因为DA＝DB＝DC，∠ADB＝∠ADC＝60°， 所以△ABD与△ACD均为等边三角形， 所以AB＝AC，从而AE⊥BC. 又AE∩DE＝E，AE，DE 平面ADE， 所以BC⊥平面ADE，而AD 平面ADE， 所以BC⊥DA. 真题 3 返回 单 元 检 测 卷 √ 1.已知不重合的平面α和平面β的法向量分别为m＝(3，1，－5)，n＝ (－6，－2，10)，则 A.α⊥β B.α∥β ... ...
