北师大版高中数学选择性必修第一册第三章空间向量与立体几何空间向量的运算(空间向量的数量积)课件(共73张PPT)+学案

空间向量的运算(空间向量的数量积) 学习目标 1.了解空间向量的夹角；掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法，培养直观想象、数学运算的核心素养.　2.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义，培养直观想象的核心素养.　3.掌握两个向量的数量积在判断垂直中的应用，掌握利用向量数量积求空间两点间的距离，提升逻辑推理和数学运算的核心素养. 任务一　两个向量的夹角 问题1.类比两个平面向量a和b的夹角的定义，那么对于两个空间向量a和b，他们的夹角又该如何定义呢？ 提示：已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫作向量a，b的夹角，记作〈a，b〉. 两个向量的夹角 定义 已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫作向量a与b的夹角，记作〈a，b〉 范围 0≤〈a，b〉≤π 向量 平行 当〈a，b〉＝0时，向量a与b方向相同； 当〈a，b〉＝π时，向量a与b方向相反 向量 垂直 当〈a，b〉＝时，称向量a，b互相垂直，记作a⊥b 规定：零向量与任意向量垂直 [微思考]　〈a，b〉＝＜b，a〉吗？〈a，b〉与〈－a，b〉，〈a，－b〉，〈－a，－b〉有什么关系？ 提示：〈a，b〉＝〈b，a〉，〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉，〈－a，－b〉＝〈a，b〉. 如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，求向量分别与向量，，，，的夹角. 解：连接BD(图略)， 则在正方体ABCD-A'B'C'D'中，AC⊥BD，∠BAC＝45°，AC＝AD'＝CD'， 所以〈，〉＝〈，〉＝45°， 〈，〉＝180°－〈，＞＝135°， 〈，〉＝∠D'AC＝60°， 〈，〉＝180°－〈，〉＝180°－60°＝120°， 〈，〉＝〈，〉＝90°. 1.求两个空间向量的夹角时，要结合夹角的定义和图形，以防出错. 2.对空间任意两个非零向量a，b有： (1)〈a，b〉＝〈b，a〉； (2)〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉； (3)〈－a，－b〉＝〈a，b〉. 对点练1.(1)对于空间任意两个非零向量a，b，“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的(　　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)(双空题)在正四面体ABCD中，与的夹角等于　　　　；与的夹角等于　　　　. 答案：(1)B　(2)120°　60° 解析：(1)因为a∥b，包括向量a和b同向共线和反向共线两种情况，所以当a∥b时，有〈a，b〉＝0，或〈a，b〉＝π，不能得到〈a，b〉＝0，充分性不成立；〈a，b〉＝0，则a和b方向相同，有a∥b，必要性成立，故“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的必要不充分条件.故选B. (2)由正四面体每个面都是正三角形可知，〈，〉＝180°－〈，〉＝180°－60°＝120°；〈，〉＝〈，〉＝60°. 任务二　两个向量的数量积 问题2.类比平面向量的数量积的定义，你能给出空间两向量数量积的定义吗？空间向量的数量积运算满足哪些运算律？ 提示：能给出空间两向量数量积的定义，即已知两个空间向量a，b，把｜a｜｜b｜cos〈a，b〉叫作a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝｜a｜｜b｜cos〈a，b〉. 空间向量的数量积运算满足：(1)交换律：a·b＝b·a；(2)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c；(3)数乘向量与向量数量积的结合律：(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R). 1.空间向量数量积的定义 已知两个空间向量a，b，把｜a｜｜b｜cos〈a，b〉叫作a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝｜a｜｜b｜cos〈a，b〉.零向量与任意向量的数量积为0，即0·a＝0. 2.数量积的结论 (1)cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0). (2)｜a｜＝＝，｜a｜2＝a2. (3)a⊥b a·b＝0. 3.数量积的运算律 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R) [微思考]　对于不共线向量a，b，c，(a·b)·c＝a·(b·c)成立吗？为什么？ 提示：不成立.例如，任取三个不共面向量a，b，c，(a·b)·c是 ... ...