人教A版（2019）必修第二册 6.4.3.1 余弦定理 课件（共23张PPT）

6.4.3.1 余弦定理 1、了解向量法证明余弦定理的推导过程； 2、掌握余弦定理及其推论； 3、能用余弦定理解决一些简单的三角形度量问题； 4、通过学习向量的有关概念，提升数学抽象素养；通过判断与向量有关命题的真假，提升逻辑推理素养. 重点：余弦定理及其推论 难点：余弦定理的推导过程及其应用 ???? ? ???? ? ???? ? 三边：????????、????????、???????? ? 三角：∠????、∠????、∠???? ? 思考：你还记得与三角形有关的哪些知识点？ ①内角和定理(三个角) ②直角三角形：勾股定理(三条边) ③直角三角形：锐角三角函数(边与角) ④大边对大角，小边对小角 ⑤面积公式 ⑦全等三角形的判定(????????????,????????????,????????????,????????????) ? ⑥相似三角形的判定 边角的定量关系 边角的定性关系 三角形全等的这些判定方法表明，给定三角形的三个角、三条边这六个元素中的某些元素，这个三角形就是唯一确定的. ????????????：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等. ? 思考：若已知三角形的两边和其夹角，这个三角形唯一吗？ 思考：三角形的其他元素与给定的某些元素有怎样的数量关系？ 探究：在?????????????中，三个角????、????、????所对的边分别是????、????、????，怎样用????、????和????表示????？ ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? 因为涉及的是三角形的两边长和它们的夹角，所以我们考虑用向量的数量积来探究. 定性 定量 ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? 如图，设????????=????，????????=????，????????=????， 那么????=?????????，则|????|2=?????????=(?????????)?(?????????) =?????????+??????????2????????? =????2+????2?2|????||????|?????????????????. 所以????2=????2+????2?2?????????????????????????. ? 同理????2=????2+????2?2?????????????????????????， ????2=????2+????2?2?????????????????????????. ? 思考：如何用文字语言叙述上述边角关系？ 余弦定理(??????????????????????????????????????????????????) 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍.即 ????2=????2+????2?2??????????????????????????， ????2=????2+????2?2??????????????????????????， ????2=????2+????2?2??????????????????????????. ? 利用余弦定理，我们可以从三角形已知的两边及其夹角直接求出第三边. 思考：余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系.应用余弦定理，我们可以解决已知三角形的三边确定三角形的角的问题吗？ ?????????????????=????2+????2?????22???????? ?????????????????=????2+????2?????22???????? ?????????????????=????2+????2?????22???????? ? 思考：勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系，余弦定理则指出了三角形的三边与其中的一个角之间的关系.你能说说这两个定理之间的关系吗？ 如果?????????????中有一个角是直角，例如，????=90°，这时?????????????????=0. 由余弦定理可得????2=????2+????2，这就是勾股定理. 由此可见，余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例. ? 思考：你还能用其他方法证明余弦定理吗？ ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? 法二(坐标)：以????为原点建系如图， ? 则????(0,0)，????(????,0)， ? ????(????????????????????,????????????????????)， ? 无论????为锐角、直角还是钝角，由三角函数的定义可得 ? 由两点间的距离公式得：????????2=(?????????????????????????)2+(?????????????????????0)2 ? 即????2=????2????????????2?????2?????????????????????????+????2+????2????????????2???? ? 所以????2=????2+????2?2?????????? ... ...