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课件网) 湘教版2019高一数学（选修一） 第二章 平面解析几何初步 2.4 点到直线的距离 第2课时 点到直线的距离 学习目标 1.领会两点间距离、点到直线的距离公式的推导过程（重点） 2.能灵活运用两点间的距离、点到直线的距离公式解决相关问题（重点） 3.会用坐标法解决几何问题的数学思想（难点） 在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来，易知从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短，将铁路看作一条直线l，仓库看作点P，怎样求得仓库到铁路的最短距离呢？ 情景导入 如何求已知点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By ＋C=0 的距离？ 如图，过点P0作直线 l 的垂线P0P1，交 l 于点P1(x1，y1)，则P0到直线 l 的距离 d =|P0P1|． 由于两条线段P0P1和P0N都与 l 垂直，因此它 们共线，夹角为0或π，则它们表示的向量的数量 积的绝对值等于它们的长度的乘积，即 从P0出发作有向线段表示直线 l 的法向量P0N=(A，B)． 新知探究 由此得到 则 又点P1(x1，y1)在直线 l 上，则有Ax1＋By1 ＋C=0． 所以可以得到点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By ＋C=0 的距离公式： 例3 已知 ABC三个顶点的坐标分别为 A(－1，1)，B(2，0)， C(3，4)． （1）求AB边上的高CD的长； 解： （1） 直线AB的一个方向向量 AB = (3，－1)， 因此直线AB的一个法向量 n = (1，3)． 故可设直线AB的一般式方程为 x＋3y＋C=0． 将点A的坐标(－1，1)代入上述方程，得： －1＋3×1＋C=0 ， 解得： C=－2．因此直线AB方程为：x＋3y－2=0． 高CD的长即为点C(3，4)到直线AB的距离，则有 例3 已知 ABC三个顶点的坐标分别为 A(－1，1)，B(2，0)， C(3，4)． （2）求 ABC的面积S ABC． 例4 （1）求证：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1=0 与l2：Ax＋By＋C2=0 的距离是 解：（1）在l1上任取一点P(x1，y1)，则Ax1＋By1 =－C1． 点P到l2的距离d就是平行直线l1与l2的距离，即 两平行线间的 距离可转化为点到直线的距离． 例4 （2）求平行直线l1：4x－3y＋6=0 与l2：4x－3y－8=0的距离． 解：（2）由（1）所得公式，得直线l1与l2的距离 题型1 点到直线的距离 典例剖析 B x＋y－1＝0或7x＋y＋5＝0 概念归纳 应用点到直线的距离公式应注意的三个问题 (1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． (2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用． (3)直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0时公式也成立， 但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解． 题型2 两条平行线间的距离 典例剖析 C 2x－y＋1＝0 概念归纳 两条平行直线间距离的三种求法 (1)直接利用两条平行线间的距离公式． (2)在一条直线上任取一点，利用点到直线的距离公式求解 (一般要选特殊的点，如直线与坐标轴的交点、坐标为整数的点)． (3)当两条直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决． ①当两条直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|； ②当两条直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|. 已知正方形ABCD的一边CD所在直线的方程为x＋3y－13＝0，对角线AC，BD的交点为P(1,5)，求正方形ABCD其他三边所在直线的方程． 典例剖析 题型3 距离公式的综合应用 概念归纳 距离公式综合应用的三种常见类型 (1)最值问题． ①利用对称转化为两点之间的距离问题． ②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离． ③利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值． 概念归纳 (2)求参数问题． 利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值． (3)求方程的问题． 立足确定直线的几何要素———点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系(平 ... ...
