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课件网) 湘教版2019高一数学（选修一） 第二章 平面解析几何初步 第1课时 两点间的距离 2.4 点到直线的距离 学习目标 1.领会两点间距离、点到直线的距离公式的推导过程（重点） 2.能灵活运用两点间的距离、点到直线的距离公式解决相关问题（重点） 3.会用坐标法解决几何问题的数学思想（难点） 在一条笔直的公路同侧有两个大型小区，现计划在公路上某处建一个公交站点C，以方便居住在两个小区的住户出行.如何选址能使站点到两个小区的距离之和最小？ 情景导入 前面对直线做了大量定性的研究．既然直线可以用二元一次方程来表示，这就为我们在平面直角坐标系中，通过代数方法展开对直线定量的研究铺平了道路． 在本节，我们将用代数方法探究点到点的距离、点到直线的距离以及两条平行线之间的距离问题，其中，向量将发挥沟通代数与几何的"桥梁"作用． 情景导入 在平面直角坐标系中，已知两点A(x1，y1)，B(x2，y2)．如何求 A，B之间的距离呢？ 由向量的坐标运算，可得 因为 因此，可得平面内任意两点间的距离公式： x y O 新知探究 如果不用向量方法求|AB|，就要作辅助线用勾股定理来计算，试试看. x y O 在平面直角坐标系中，已知两点A(x1，y1)，B(x2，y2)．如何求 A，B之间的距离呢？ 如图，可知C(x2，y1)，则 由勾股定理可得 因此，可得平面内任意两点间的距离公式： 例1 已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)． （1）求BC边上的中线AM的长； 课本例题 例1 已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)． （2）证明：△ABC为等腰直角三角形． 课本例题 例1 已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)． （2）证明：△ABC为等腰直角三角形． 课本例题 分析 首先要建立适当的坐标系，将几何图形上的点用坐标表示出来，然后进行代数运算，最后把代数运算的结果“翻译”成几何关系． 证明：如图，以Rt△ABC的直角边AB，AC所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系， 则A(0，0)．设B，C两点的坐标分别为(b，0)，(0，c)，BC的中点为D． 例2 证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 课本例题 因此，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 例2 证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 课本例题 题型一：两点之间的距离公式 典例剖析 例1 已知△ABC的三个顶点分别为A(－1,0)，B(1,0)，C ，试判断△ABC的形状. |AB|＝2. 有|AC|2＋|BC|2＝|AB|2， 所以△ABC是直角三角形. 所以kAC·kBC＝－1.所以AC⊥BC. |AC|≠|BC|，所以△ABC是直角三角形. 跟踪训练1 若点M到x轴和到点N(－4,2)的距离都等于10，则点M的坐标为_____. 由点M到x轴的距离等于10可知，其纵坐标为±10. 设点M的坐标为(xM，±10). 由两点间距离公式， (2,10)或(－10,10) 解得xM＝－10或xM＝2， 所以点M的坐标为(2,10)或(－10,10). 概念归纳 计算两点间距离的方法 (1)对于任意两点A(x1，y1)和B(x2，y2)， (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况|y2－y1|或|x2－x1|求解. 题型二：坐标法的应用 典例剖析 例2 求证：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半. 如图，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，其中D，E分别为边AC和BC的中点. 则A(0,0)，设B(c,0)，C(m，n)，则|AB|＝|c|. 即三角形的中位线长度等于第三边长度的一半. 跟踪训练2 已知在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.求证：|AC|＝|BD|. 如图所示，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，设B(a,0)，C(b，c)， 则点D的坐标是(a－b，c). 故|AC|＝|BD|. (1)用解析法解题时，虽然平面图形的几何性质不依赖于平面直角坐标系的建立，但不同的平面直角坐 ... ...
