第五章 一次函数 5.3 一次函数的意义教学设计 一、内容和内容解析 内容： 本节课主要内容为一次函数的定义、特征及其与实际问题的联系。学生将通过具体实例理解一次函数 （）的结构特征，区分一次函数与正比例函数的关系，并初步掌握用待定系数法求一次函数表达式的方法。 内容解析： 一次函数是函数学习的入门内容，是后续学习二次函数、反比例函数的基础。本节课通过风力发电、个人所得税、水费计算等现实情境，引导学生从实际问题中抽象出函数模型，理解函数的本质是描述变量之间的关系。教学中应注重数形结合思想、模型思想的渗透，培养学生从具体到抽象的数学思维能力。 二、目标和目标解析 目标： 理解一次函数和正比例函数的定义，能判断一个函数是否为一次函数或正比例函数。 能根据实际问题建立一次函数模型，并求出函数表达式。 初步掌握待定系数法求一次函数表达式的方法。 目标解析： 通过本节课的学习，学生应能识别一次函数的结构特征，理解 和 的含义，能根据实际问题中的数量关系列出函数表达式。通过待定系数法的学习，学生能通过两组对应值求出一次函数的表达式，为后续函数图像与性质的学习打下基础。 三、教学问题诊断分析 函数概念抽象：学生对“函数”的理解仍停留在变量依赖关系上，难以从表达式中抽象出函数结构。 正比例函数与一次函数的混淆：学生易忽略 的特殊情况，误将正比例函数排除在一次函数之外。 待定系数法应用不熟练：学生对方程组的解法掌握不牢，导致在求 和 时出现计算错误。 四、教学过程设计 （一）情景引入 问题1： 某地区风力发电装机容量如下表所示，请观察数据，你能发现什么规律？ 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 容量/万千瓦 18 22 26 30 34 38 问题2： 若将2017年记为第1年，第 年的装机容量为 ，你能写出 与 的关系式吗？ 问题3： 这种关系是否具有普遍性？能否用一类函数来描述这种变化规律？ 设计意图： 通过真实数据引导学生发现变量之间的线性关系，引出一次函数的概念，激发学习兴趣，对应目标1。 （二）合作探究1 探究1：一次函数与正比例函数的辨析 教师出示以下函数表达式： 问题：请判断这些函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？并说明理由。 学生活动：独立思考后小组讨论，派代表发言。 预期回答： ：是正比例函数，也是特殊的一次函数（），比例系数 。 ：是一次函数，，，但不是正比例函数（因为 ）。 ：不是一次函数，因为自变量 在分母上，不满足 的形式。 ：可化简为 ，是一次函数，，，不是正比例函数。 ：不是一次函数，因为含有 项。 追问1： 正比例函数是否一定是一次函数？一次函数是否一定是正比例函数？ 引导学生归纳： 正比例函数是特殊的一次函数（当 时），但一次函数不一定是正比例函数（当 时）。 追问2： 一次函数的一般形式中，为什么要求 ？若 ，函数变成了什么？ 引导学生思考： （三）巩固练习1 判断下列函数是否为一次函数？若是，指出 和 的值。 (1) (2) (3) 答案： (1) 是， (2) 是， (3) 否 若 是一次函数，求 的取值范围。 答案： （四）合作探究2 探究2：从实际问题中抽象一次函数模型 问题1： 某农场每平方米种植玉米6株。设种植面积为 （m ），玉米株数为 （株），你能写出 与 的关系式吗？它是函数吗？属于哪一类函数？ 学生回答： ，是函数，且是正比例函数。 问题2： 正方形的周长 与面积 之间是否具有函数关系？若是，是否为一次函数？ 引导学生分析： 设边长为 ，则 ，。 由 ，代入得 。 ∴ 是 的函数，但不是一次函数（是二次函数）。 问题3： 等腰三角形 的周长为16 cm，腰长为 cm，底边长为 cm。写出 关于 的函数表达式，并判断其类型。 学生尝试： 由周长公式：，得 。 ∴ 是 的一次函数，但不是正比例函数 ... ...
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