4.3.2.2 等比数列前n项和的综合应用 基础过关练 题组一 与等比数列有关的数列求和 1.(2024江西九江第一中学月考)已知数列{an}满足a1=0,a2=1.若数列{an+an+1}是公比为2的等比数列,则a2 024=( ) A. B. C. D. 2.(2025江苏淮安期末)数列{an}满足nan+1=3(n+1)an,a1=3,则数列{an}的前n项和Sn=( ) A. B.n·3n C.1+(14n-8)·3n-2 D.+·3n+1 3.(2025江苏无锡期中)已知等比数列{an}的公比为整数,其前n项和为Sn,且S2=8,6a1+a3=30. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=(2n-1)(1+Sn),求数列{bn}的前n项和Tn. 题组二 与等比数列前n项和有关的实际问题 4.(2025广东广州华南师大附中期末)某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术,以此达到10年内每年此农产品的销售额(单位:万元)等于上一年的1.3倍再减去3万元,已知第一年(2024年)该公司该农产品的销售额为100万元,则按照计划该公司从2024年到2033年该农产品的销售总额约为(参考数据:1.39≈10.6,1.310≈13.8,1.311≈17.9)( ) A.964万元 B.2 980万元 C.3 940万元 D.5 170万元 5.(2025山西二调)古代“微尘数”的计法:“凡七微尘,成一窗尘;合七窗尘,成一兔尘;合七兔尘,成一羊尘;合七羊尘,成一牛尘;合七牛尘,成于一虮;合于七虮,成于一虱;合于七虱,成一芥子;合七芥子,成一大麦;合七大麦,成一指节;累七指节,成于半尺……”这里,微尘、窗尘、兔尘、羊尘、牛尘、虮、虱、芥子、大麦、指节、半尺的长度构成了公比为7的等比数列,那么1指节是( ) A.77兔尘 B.77羊尘 C.兔尘 D.羊尘 6.(2024黑龙江大庆实验中学开学考试)谢尔宾斯基三角形是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的一种分形,它是按照如下规则得到的:在等边三角形中,连接三边的中点,得到四个小三角形,然后去掉中间的小三角形,对余下的三个小三角形重复上述操作,便可得到谢尔宾斯基三角形,如图.记操作n次后,大三角形中白色小三角形的个数为an,则a4= ,若灰色小三角形的个数为bn,则bn= . 题组三 等比数列前n项和的综合应用 7.(多选题)(2025山东滨州期末)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1=3,a4=24,则下列结论正确的是( ) A.a3=12 B.数列{Sn+2}为等比数列 C.Sn=2an-3 D.=2n 8.(2024上海新中高级中学期中)已知数列{an}满足2a1+22a2+…+2nan=,数列{an}的前n项和为Sn,则下列结论错误的是( ) A.a1=2 B.数列{an}的通项公式为an=(3n+1)×2n C.数列{an}为递减数列 D.Sn=7- 9.(2024江西宜春宜丰中学月考)已知数列{an}是正项等比数列,其前n项和为Sn,且a2a4=16,S5=S3+24. (1)求{an}的通项公式; (2)记{an+log2an}的前n项和为Tn,求满足Tn<2 024的最大正整数n. 10.(2025安徽蚌埠期末)已知等差数列{an}和正项等比数列{bn},{an}的前n项和为Sn,且a1+a5=8,b4-b2=a5,S2n=2Sn+n2,b2n=2(n∈N*). (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)求数列的前n项和Tn; (3)若cn=求数列{cn}的前2n项和. 能力提升练 题组一 与等比数列前n项和有关的实际问题 1.(2025陕西宝鸡期末)《九章算术》中有问题:“今有蒲生一日,长三尺,莞生一日,长一尺.蒲生日自半,莞生日自倍.”意思是说今有蒲和莞,蒲第一天长高三尺,莞第一天长高一尺,以后每天蒲长高的尺寸为前一天的一半,莞长高的尺寸为前一天的两倍,要使莞的高度大于蒲的高度(蒲与莞原先的高度忽略不计),则至少需要经过( ) A.3天 B.4天 C.5天 D.6天 2.(2025江苏无锡期中)数学史上著名的“康托三分集”,其操作过程如下:将闭区间[0,1]均分为三段,去掉中间的区间段,记为第1次操作;再将剩下的两个区间分别均分为三段,并各自去掉中间的区间段,记为第2次操作,……,每次操作都在上一次的基础上,将剩下的各个区间分别均分为三段,同样各自去掉中 ... ...
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